A figura 1 ilustra um mecanismo constituído por 2 engrenagens (engrenagem 1 e 2) e por um disco 3. O disco 3 encontra-se sobre o mesmo eixo da engrenagem 2 (eixo B). A engrenagem 1, inicialmente com uma rotação em relação ao eixo A de 250 rpm, foi sujeita a uma aceleração angular (α_A) com o valor de 3 rad/s². Sabendo que os valores dos raios da engrenagem 1 (R1), engrenagem 2 (R2) e o disco 3 (R3) são, respectivamente, de 0,300 m, 0,200 m e 0,200 m, determine: 1.1 o número de revoluções da engrenagem 1 e 2 ao fim de 4 segundos. 1.2 a aceleração no ponto P situado na engrenagem 2 em t = 0 s. 1.3 a velocidade do bloco C e o deslocamento (Δy) sofrido pelo mesmo ao fim de 4 segundos.

Dados (da Figura 1):

• $\omega_{1,0}=250\ \text{rpm}=250\cdot\dfrac{2\pi}{60}=\dfrac{25\pi}{3}=26{,}18\ \text{rad/s}$
• $\alpha_1=\alpha_A=3\ \text{rad/s}^2$
• $t=4\ \text{s}$
• $R_1=0{,}300\ \text{m}$, $R_2=0{,}500\ \text{m}$ (pela imagem), $R_3=0{,}200\ \text{m}$
• Engrenagens em contato: sem escorregamento $\Rightarrow\ v_t$ iguais no ponto de contato.

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1.1) Número de revoluções das engrenagens 1 e 2 ao fim de 4 s

Engrenagem 1

Deslocamento angular com aceleração constante:

$$\theta_1(t)=\omega_{1,0}t+\tfrac12\alpha_1 t^2$$ $$\theta_1(4)=26{,}18\cdot 4+\tfrac12\cdot 3\cdot 16=104{,}72+24=128{,}72\ \text{rad}$$

Número de voltas:

$$N_1=\dfrac{\theta_1}{2\pi}=\dfrac{128{,}72}{2\pi}=20{,}49\ \text{rev}$$

Engrenagem 2

Pela condição de engrenamento (módulos):

$$\omega_1 R_1=\omega_2 R_2\ \Rightarrow\ \omega_2=\omega_1\dfrac{R_1}{R_2}$$

Logo, também para deslocamentos angulares (mesma razão, pois $R_1,R_2$ constantes):

$$\theta_2=\theta_1\dfrac{R_1}{R_2}=128{,}72\cdot\dfrac{0{,}300}{0{,}500}=77{,}232\ \text{rad}$$

Volt as:

$$N_2=\dfrac{\theta_2}{2\pi}=\dfrac{77{,}232}{2\pi}=12{,}29\ \text{rev}$$

(Observação: o sentido de rotação da engrenagem 2 é oposto ao da 1; acima estão os módulos.)

Resposta 1.1:

• Engrenagem 1: $N_1\approx 20{,}49$ rev
• Engrenagem 2: $N_2\approx 12{,}29$ rev

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1.2) Aceleração no ponto P na engrenagem 2 em $t=0$ s

Primeiro, obtenha $\omega_{2,0}$ e $\alpha_2$.

Velocidade angular inicial da engrenagem 2

$$\omega_{2,0}=\omega_{1,0}\dfrac{R_1}{R_2}=26{,}18\cdot\dfrac{0{,}300}{0{,}500}=15{,}71\ \text{rad/s}$$

Aceleração angular da engrenagem 2

Derivando a relação $\omega_2=\omega_1\dfrac{R_1}{R_2}$ (raios constantes):

$$\alpha_2=\alpha_1\dfrac{R_1}{R_2}=3\cdot\dfrac{0{,}300}{0{,}500}=1{,}8\ \text{rad/s}^2$$

Para um ponto a uma distância $r$ do eixo (na figura, $P$ está na borda da engrenagem 2, então $r=R_2$):

• Aceleração tangencial: $a_t=\alpha_2 r$
• Aceleração normal (centrípeta): $a_n=\omega_{2,0}^2 r$

Com $r=R_2=0{,}500$ m:

$$a_t=1{,}8\cdot 0{,}5=0{,}90\ \text{m/s}^2$$ $$a_n=(15{,}71)^2\cdot 0{,}5=246{,}74\cdot 0{,}5=123{,}37\ \text{m/s}^2$$

Módulo da aceleração total:

$$|\vec a_P|=\sqrt{a_t^2+a_n^2}=\sqrt{(0{,}90)^2+(123{,}37)^2}\approx 123{,}37\ \text{m/s}^2$$

(dominada pela componente centrípeta)

Resposta 1.2 (em $t=0$):

• $a_t=0{,}90\ \text{m/s}^2$
• $a_n=123{,}37\ \text{m/s}^2$ (apontando para o centro do eixo B)
• $|\vec a_P|\approx 123{,}37\ \text{m/s}^2$

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1.3) Velocidade do bloco C e deslocamento $\Delta y$ após 4 s

O disco 3 está no mesmo eixo da engrenagem 2 $\Rightarrow$

$$\omega_3=\omega_2,\quad \alpha_3=\alpha_2$$

A velocidade do bloco (fio sem escorregamento) é a velocidade tangencial na borda do disco:

$$v_C(t)=\omega_3(t)R_3$$

com

$$\omega_2(t)=\omega_{2,0}+\alpha_2 t$$

Então, em $t=4$ s:

$$\omega_2(4)=15{,}71+1{,}8\cdot 4=15{,}71+7{,}2=22{,}91\ \text{rad/s}$$ $$v_C(4)=22{,}91\cdot 0{,}200=4{,}58\ \text{m/s}$$

O deslocamento linear do fio/bloco é o arco desenrolado:

$$\Delta y=R_3\,\theta_3=R_3\,\theta_2$$

onde

$$\theta_2(4)=\omega_{2,0}t+\tfrac12\alpha_2 t^2$$ $$\theta_2(4)=15{,}71\cdot 4+\tfrac12\cdot 1{,}8\cdot 16=62{,}83+14{,}4=77{,}23\ \text{rad}$$ $$\Delta y=0{,}200\cdot 77{,}23=15{,}45\ \text{m}$$

Resposta 1.3 (após 4 s):

• $v_C\approx 4{,}58\ \text{m/s}$
• $\Delta y\approx 15{,}45\ \text{m}$ (O sentido — subir ou descer — depende do sentido de rotação indicado; acima estão os módulos.)

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Alternativa correta: (sem alternativas).