Uma empresa de logística sabe que o tempo de entrega de suas encomendas segue uma Distribuição Normal, com uma média populacional (μ) de 48 horas e um desvio padrão populacional (σ) de 8 horas. a) Qual é a probabilidade de uma encomenda, selecionada ao acaso, ser entregue em menos de 56 horas? (Dica: Calcule apenas um Z-Score e consulte a área na tabela abaixo). b) A empresa avaliou os resultados do mês passado. Uma amostra aleatória de 64 entregas (n = 64) apresentou um tempo médio (x̄) de 45 horas. Sabendo que o Z para 95% de confiança é 1,96, construa o Intervalo de Confiança para o tempo médio real. A média histórica de 48 horas está dentro deste intervalo?

Dados: $X\sim N(\mu=48,\sigma=8)$.

a) Probabilidade de entregar em menos de 56 h

Padronizando: [ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{56-48}{8}=\frac{8}{8}=1. ] Logo, [ P(X<56)=P(Z<1). ] Pela tabela fornecida, a área acumulada à esquerda de $Z=1{,}00$ é $0{,}8413$.

Resposta (a): $0{,}8413$ (84,13%).

b) Intervalo de confiança de 95% para a média real

Como $\sigma$ é conhecido, usamos IC com Z: [ \bar{x} \pm Z_{0{,}95}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}. ] Erro-padrão: [ \frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{64}}=\frac{8}{8}=1. ] Margem de erro: [ 1{,}96\cdot 1=1{,}96. ] Então o IC(95%) é: [ 45\pm 1{,}96=(45-1{,}96,;45+1{,}96)=(43{,}04,;46{,}96). ] Verificando se $\mu=48$ está no intervalo: $48>46{,}96$, portanto não está dentro do IC.

Alternativa correta: (sem alternativas).