A média histórica de 48 horas está dentro deste...

Questão

Uma empresa de logística sabe que o tempo de entrega de suas encomendas segue uma Distribuição Normal, com uma média populacional (μ) de 48 horas e um desvio padrão populacional (σ) de 8 horas.

a) Qual é a probabilidade de uma encomenda, selecionada ao acaso, ser entregue em menos de 56 horas? (Dica: Calcule apenas um Z-Score e consulte a área na tabela abaixo).

b) A empresa avaliou os resultados do mês passado. Uma amostra aleatória de 64 entregas (n = 64) apresentou um tempo médio (x̄) de 45 horas. Sabendo que o Z para 95% de confiança é 1,96, construa o Intervalo de Confiança para o tempo médio real. A média histórica de 48 horas está dentro deste intervalo?

Imagem 1

Tabela: Trecho da Tabela Normal Padrão (Z) - Área acumulada à esquerda

Imagem 2

Fórmula/Parâmetros: μ = 48, σ = 8, n = 64, x̄ = 45, Z_{95%} = 1.96

Resposta

a) $P(X<56)=0{,}8413$ (84,13%).

b) IC 95%: $(43{,}04, 46{,}96)$ horas. A média histórica de 48 h não está dentro do intervalo.

Explicação

Dados: $X\sim N(\mu=48,\sigma=8)$ .

a) Probabilidade de entregar em menos de 56 h

Padronizando:

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}=\frac{56-48}{8}=\frac{8}{8}=1.

Logo,

P(X<56)=P(Z<1).

Pela tabela fornecida, a área acumulada à esquerda de $Z=1{,}00$ é $0{,}8413$ .

Resposta (a): $0{,}8413$ (84,13%).

b) Intervalo de confiança de 95% para a média real

Como $\sigma$ é conhecido, usamos IC com Z:

\bar{x} \pm Z_{0{,}95}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Erro-padrão:

\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{8}{\sqrt{64}}=\frac{8}{8}=1.

Margem de erro:

1{,}96\cdot 1=1{,}96.

Então o IC(95%) é:

45\pm 1{,}96=(45-1{,}96,\;45+1{,}96)=(43{,}04,\;46{,}96).

Verificando se $\mu=48$ está no intervalo: $48>46{,}96$ , portanto não está dentro do IC.

Alternativa correta: (sem alternativas).

distribuicao-normal estatistica intervalo-de-confianca probabilidade