Dois títulos, um para 12 meses no valor de 10000 reais e outro para 15 meses no valor de 16000 reais foram substituídos por um único título para um ano e meio. Sabendo-se que a taxa de desconto racional adotada é de 4% am, qual será o valor em reais deste título para um ano e meio?

Como a taxa é de desconto racional de $4\%$ ao mês, trazemos cada título para a data focal (hoje) por desconto racional simples, isto é, pelo valor atual:

$$PV = \frac{N}{1+i\,n}$$

onde $N$ é o valor nominal, $i=0{,}04$ a.m. e $n$ é o prazo em meses.

1) Valor atual dos títulos originais

• Título 1: $N_1=10.000$ para $n_1=12$ meses

$$PV_1 = \frac{10.000}{1+0{,}04\cdot 12} = \frac{10.000}{1{,}48} \approx 6.756{,}76$$

• Título 2: $N_2=16.000$ para $n_2=15$ meses

$$PV_2 = \frac{16.000}{1+0{,}04\cdot 15} = \frac{16.000}{1{,}60} = 10.000$$

Somando os valores atuais:

$$PV_\text{total}=PV_1+PV_2 \approx 6.756{,}76 + 10.000 = 16.756{,}76$$

2) Título substituto para 1 ano e meio (18 meses) Seja $N$ o valor nominal do novo título para $n=18$ meses. Seu valor atual deve ser igual a $PV_\text{total}$:

$$\frac{N}{1+0{,}04\cdot 18} = 16.756{,}76$$

Como $1+0{,}04\cdot 18 = 1{,}72$:

$$N = 16.756{,}76\cdot 1{,}72 \approx 28.811{,}63$$

Porém, observe que em muitos enunciados de “desconto racional” em Matemática Financeira escolar, quando não se especifica “simples”, costuma-se usar desconto racional composto (equivalente a trazer a valor presente por juros compostos):

$$PV = \frac{N}{(1+i)^n}$$

Refazendo com o composto:

$$PV_1=\frac{10.000}{(1{,}04)^{12}}\approx 6.247{,}68,\quad PV_2=\frac{16.000}{(1{,}04)^{15}}\approx 8.878{,}01$$ $$PV_\text{total}\approx 15.125{,}69$$

Novo título em 18 meses:

$$N = PV_\text{total}\,(1{,}04)^{18} \approx 15.125{,}69\cdot 2{,}02527 \approx 30.633{,}65$$

Como o resultado pedido na prática costuma considerar desconto racional simples quando a taxa é dada “a.m.” e o problema é de substituição direta, o valor do título para 18 meses fica:

$$N \approx 28.811{,}63$$

Assim, o valor do título para um ano e meio é R$ 28.811,63.