Uma empresa, em reconhecimento ao desempenho de 10 de seus funcionários, decide dar-lhes um bônus. Para tanto, a empresa distribuiu um total de R$ 25.000,00, de acordo com a tabela a seguir: | Número de funcionários | Valor do Bônus (em reais) | |---:|:---| | 6 | R$ 2000 | | 2 | R$ 2500 | | 2 | R$ 4000 | Nessas condições, o desvio padrão dos bônus pagos é dado por?

Os valores pagos foram: 6 funcionários receberam 2000; 2 receberam 2500; 2 receberam 4000.

1) Média ($\mu$) O total pago foi 25.000 para 10 funcionários, então $\mu=\frac{25000}{10}=2500.$

2) Variância populacional ($\sigma^2$) Vamos calcular $E[X^2]$:

• Para 2000: $2000^2=4.000.000$ (6 vezes)
• Para 2500: $2500^2=6.250.000$ (2 vezes)
• Para 4000: $4000^2=16.000.000$ (2 vezes)

Então $E[X^2]=\frac{6\cdot 4.000.000 + 2\cdot 6.250.000 + 2\cdot 16.000.000}{10}.$ Somando: $6\cdot 4.000.000=24.000.000,$ $2\cdot 6.250.000=12.500.000,$ $2\cdot 16.000.000=32.000.000.$ Logo, $E[X^2]=\frac{24.000.000+12.500.000+32.000.000}{10}=\frac{68.500.000}{10}=6.850.000.$

A variância populacional é: $\sigma^2=E[X^2]-\mu^2=6.850.000-2500^2=6.850.000-6.250.000=600.000.$

3) Desvio padrão ($\sigma$) $\sigma=\sqrt{600.000}=\sqrt{6\cdot 100.000}=100\sqrt{60}=100\cdot 2\sqrt{15}=200\sqrt{15}.$ Aproximando: $\sigma\approx 200\cdot 3{,}873=774{,}6.$

Portanto, o desvio padrão dos bônus é $200\sqrt{15}$ (aprox. $774{,}6$ reais).

Alternativa correta: (sem alternativas).