Na figura mostrada, M, N e P são pontos de tangência, O e O' são centros das circunferências. Se PN = 2PM, determine a relação R/r.

Pela figura, as circunferências são tangentes externamente em $P$, logo os centros $O, P, O'$ são colineares e $OO'=r+R.$ A reta superior é tangente comum, tocando a circunferência menor em $M$ e a maior em $N$. Assim, $OM\perp$ (tangente) e $O'N\perp$ (tangente).

Coloquemos a tangente como o eixo $x$ (linha horizontal). Então $M$ e $N$ estão sobre esse eixo.

• Como $OM$ é perpendicular à tangente e tem comprimento $r$, o centro $O$ está a uma distância vertical $r$ da tangente.
• Como $O'N$ é perpendicular à tangente e tem comprimento R\, o centro $O'$ está a uma distância vertical R\ da tangente.

Além disso, $P$ é o ponto de tangência entre as circunferências e está no segmento $OO'$, com $OP=r \quad\text{e}\quad O'P=R.$

Como $M$ está verticalmente acima de $O$ e $N$ verticalmente acima de $O'$, a projeção horizontal de $P$ na tangente divide o segmento $MN$ em dois pedaços proporcionais às distâncias $OP$ e $O'P$. Mais precisamente, os triângulos retângulos formados com a tangente dão a relação (mesma inclinação da tangente vista a partir de $P$): $\frac{PM}{PN}=\frac{r}{R}.$ Dado $PN=2\,PM$, temos $\frac{PM}{PN}=\frac{1}{2}.$ Logo, $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\frac{R}{r}=2.$

Mas pela leitura correta do desenho (o ponto $P$ não é a projeção ortogonal de nenhum centro na tangente; ele está abaixo da tangente e liga-se a $M$ e $N$), devemos usar potência do ponto para as duas circunferências com a tangente comum: de $P$ às tangências valem os comprimentos de tangentes a cada circunferência.

• Para a circunferência menor, $PM$ é tangente em $M$, então $PM^2=\text{Pot}_P(\text{menor})$. Como $P$ está na própria circunferência menor, sua potência é $0$; porém $PM$ não é tangente à menor (o segmento tangente à menor a partir de $P$ seria degenerado). Na figura, $PM$ é um segmento na reta tangente comum (não passa por $P$). Logo, devemos modelar com coordenadas.

Modelo analítico: tome a tangente como a reta $y=0$. Então $O=(x_M,r)$ e $O'=(x_N,R)$, com $M=(x_M,0)$ e $N=(x_N,0)$. A distância entre centros: $OO'=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(R-r)^2}=R+r.$ Então $(x_N-x_M)^2+(R-r)^2=(R+r)^2 \Rightarrow (x_N-x_M)^2=4Rr.$ Logo, $MN=|x_N-x_M|=2\sqrt{Rr}.$

O ponto $P$ divide $OO'$ internamente com razão OP:PO'=r:R\. Assim, a coordenada $x$ de $P$ é $x_P=x_M+\frac{r}{r+R}(x_N-x_M).$ Como $M$ e $N$ estão em $y=0$, temos $PM=|x_P-x_M|=\frac{r}{r+R}MN,\quad PN=|x_N-x_P|=\frac{R}{r+R}MN.$ Portanto, $\frac{PN}{PM}=\frac{R}{r}.$ Dado $PN=2PM$, segue $\frac{PN}{PM}=2=\frac{R}{r}.$ Mas pela figura (segmento $PN$ desenhado passando pela parte superior da circunferência maior), entende-se $PN$ e $PM$ como comprimentos ao longo da tangente entre $P$ projetado na tangente? Não: no desenho, $P$ está sobre a linha dos centros e os segmentos $PM$ e $PN$ são traçados como segmentos retos até $M$ e $N$, não ao longo da tangente. Assim, devemos usar distâncias euclidianas:

Com as coordenadas acima, $P$ tem coordenada $y_P$ obtida pela divisão interna: $y_P=r+\frac{r}{r+R}(R-r)=\frac{2rR}{r+R}.$ Então $PM^2=(x_P-x_M)^2+y_P^2=\left(\frac{r}{r+R}MN\right)^2+\left(\frac{2rR}{r+R}\right)^2,$ $PN^2=(x_N-x_P)^2+y_P^2=\left(\frac{R}{r+R}MN\right)^2+\left(\frac{2rR}{r+R}\right)^2.$ Como $MN^2=4Rr$, fica $PM^2=\frac{r^2}{(r+R)^2}4Rr+\frac{4r^2R^2}{(r+R)^2}=\frac{4r^2R(r+R)}{(r+R)^2}=\frac{4r^2R}{r+R},$ $PN^2=\frac{R^2}{(r+R)^2}4Rr+\frac{4r^2R^2}{(r+R)^2}=\frac{4rR^2(r+R)}{(r+R)^2}=\frac{4rR^2}{r+R}.$ Logo, $\frac{PN}{PM}=\sqrt{\frac{4rR^2/(r+R)}{4r^2R/(r+R)}}=\sqrt{\frac{R}{r}}.$ Dado $PN=2PM$: $2=\sqrt{\frac{R}{r}}\Rightarrow \frac{R}{r}=4.$

Alternativa correta: (C).