É dado um plano α, projetante horizontal, que faz, com o Plano Frontal de Projeção, um diedro de 45° (a.e.). Os pontos A (4; 2) e B (2; 6) são dois vértices de um triângulo equilátero contido no plano α. Sabendo que o vértice C tem cota superior a A, desenhe as projeções do triângulo.

1) Interpretação dos dados (Monge)

• Ponto $A(4;2)$ e $B(2;6)$ estão em coordenadas (abscissa; cota). Logo:
  • $A'$ (projeção frontal) tem abscissa 4 e cota 2.
  • $B'$ tem abscissa 2 e cota 6.
• O plano $\alpha$ é projetante horizontal: ele é perpendicular ao Plano Horizontal de Projeção (PHP). Consequência importante:
  • a projeção horizontal do plano $\alpha$ é uma reta (o traço horizontal do plano, $h_\alpha$).
  • todo ponto do plano tem sua projeção horizontal sobre essa reta.
• O plano $\alpha$ faz com o Plano Frontal de Projeção (PFP) um diedro de $45^\circ$ (a.e.). Isso define a inclinação de $\alpha$ em relação ao PFP (ângulo verdadeiro entre planos).

2) Traçar as projeções dos pontos A e B

1. Desenhe a linha de terra (LT).
2. Marque no PFP:
   • $A'$ em abscissa 4 e cota 2.
   • $B'$ em abscissa 2 e cota 6.
3. A partir de $A'$ e $B'$, desça projetantes ortogonais à LT para localizar $A$ e $B$ no PHP (as projeções horizontais $A''$ e $B''$).
   • Como não foi dada a afastamento explicitamente, ele será determinado pela condição “$A$ e $B$ pertencem ao plano $\alpha$”. Em épura, isso é feito ao construir o plano $\alpha$ e então “forçar” $A''$ e $B''$ a ficarem no traço horizontal $h_\alpha$.

3) Construção do plano α (projetante horizontal com diedro 45° com o PFP)

Como $\alpha$ é projetante horizontal:

• escolha/defina o traço horizontal $h_\alpha$ (reta no PHP).
• o traço frontal $f_\alpha$ será uma reta no PFP.
• a condição “diedro de $45^\circ$ com o PFP” é imposta construindo uma reta característica do plano (tipicamente a linha de maior declive em relação ao PFP) ou usando método de rotação/rebatimento que garanta que o ângulo verdadeiro entre $\alpha$ e o PFP seja $45^\circ$.

Um caminho clássico (desenho técnico/descritiva):

1. Determine $f_\alpha$ passando por um ponto conhecido do plano (por exemplo, fazendo $f_\alpha$ passar por $A'$ e $B'$ se o enunciado implicar que ambos pertencem ao plano e você adota isso como condição de construção).
2. Encontre a interseção de $f_\alpha$ com a LT para obter o ponto comum dos traços.
3. No PHP, por esse mesmo ponto na LT, trace $h_\alpha$ de modo compatível com o diedro de $45^\circ$ (via rebatimento do plano em torno de um traço).

Observação: em Geometria Descritiva, “$45^\circ$ (a.e.)” indica que o ângulo é em verdadeira grandeza (não aparente).

4) Determinar o lado do triângulo e localizar C no plano α

O triângulo é equilátero, então:

• $AB$ é lado do triângulo.
• $C$ deve satisfazer $AC = BC = AB$ e $C \in \alpha$.

Passo essencial: obter a verdadeira grandeza de $AB$ no plano $\alpha$.

1. Faça o rebatimento do plano $\alpha$ em torno de um traço (normalmente $h_\alpha$) até coincidir com o PHP, ou em torno de $f_\alpha$ até coincidir com o PFP.
2. No plano rebatido, os pontos $A$ e $B$ vão para $A_r$ e $B_r$.
3. Meça $AB$ em verdadeira grandeza: $|A_rB_r|$.

Com $A_r$ e $B_r$ no plano rebatido:

1. Construa as circunferências:
   • centro em $A_r$, raio $A_rB_r$;
   • centro em $B_r$, raio $A_rB_r$.
2. As interseções são os dois possíveis vértices $C_{r1}$ e $C_{r2}$ (duas soluções simétricas em relação à mediatriz de $AB$ no plano).
3. Escolha aquela cuja cota final (após “desrebatimento”) seja maior que a cota de A (condição: “C tem cota superior a A”).

5) Voltar C para as projeções (desrebatimento)

1. A partir do ponto escolhido $C_r$, execute o desrebatimento para obter $C$ no espaço.
2. Projete para obter:
   • $C'$ (projeção frontal)
   • $C''$ (projeção horizontal), lembrando que, por $\alpha$ ser projetante horizontal, $C''$ deve cair sobre $h_\alpha$.
3. Una $A$–$B$–$C$ nas duas vistas (frontal e horizontal) para finalizar as projeções do triângulo.

6) Checagens finais

• Verifique que $A$, $B$ e $C$ pertencem ao plano (projeções coerentes com os traços de $\alpha$).
• Verifique que o triângulo é equilátero em verdadeira grandeza (pela construção no rebatimento).
• Verifique a condição: $\text{cota}(C) > \text{cota}(A)=2$.

Conclusão: a construção fornece duas posições possíveis para $C$, e a escolha correta é a que resulta em cota de $C$ maior do que a de $A$.

Alternativa correta: (não se aplica).