O teste de BG também é conhecido como teste LM. Suponha a seguinte regressão: $Y_t = 1 + 2X_t + u_t$. Além disso, suponha que o termo de erro siga um esquema autorregressivo de ordem $p$, ou seja: $u_t = \phi_1 u_{t-1} + \phi_2 u_{t-2} + \dots + \phi_p u_{t-p} + \varepsilon_t$. Deste modo, quanto às etapas para a elaboração do teste, analise as afirmativas abaixo: I. Estime a regressão por Mínimos Quadrados e obtenha os resíduos estimados; II. Faça a regressão dos resíduos estimados contra as variáveis explanatórias e contra os resíduos defasados encontrados na etapa 1. Assim, encontramos o coeficiente de determinação desta regressão. III. Se o tamanho da amostra for grande, demonstra-se que: $n\cdot R^2 \sim \chi^2_p$. IV. Calcular a margem de erro entre as probabilidades numéricas e assim, traçar a linha de correlação. É verdadeiro o que se afirma em:

No teste de Breusch–Godfrey (BG), também chamado teste LM para autocorrelação de ordem $p$, as etapas padrão são:

I. Estimar a regressão original por MQO e obter os resíduos $\hat u_t$.

• Correto: o teste parte dos resíduos da regressão estimada.

II. Estimar a regressão auxiliar ("regressão dos resíduos"): [ \hat u_t = \alpha_0 + \alpha_1 X_t + \rho_1 \hat u_{t-1}+\rho_2 \hat u_{t-2}+\cdots+\rho_p \hat u_{t-p}+v_t, ] (e, em geral, também se incluem todos os regressores originais; aqui é o $X_t$ e o intercepto).

• Correto: dessa regressão auxiliar obtemos o $R^2$.

III. Para amostra grande, sob $H_0:\rho_1=\cdots=\rho_p=0$ (isto é, ausência de autocorrelação até ordem $p$), vale a estatística LM: [ LM = n\cdot R^2 \ \overset{a}{\sim}\ \chi^2_p. ]

• Correto: essa é a distribuição assintótica usual do teste.

IV. “Calcular a margem de erro entre as probabilidades numéricas e assim, traçar a linha de correlação.”

• Incorreto: isso não faz parte do procedimento do teste BG/LM. O teste compara $nR^2$ com o valor crítico de $\chi^2_p$ (ou usa p-valor), não envolve “margem de erro” nem “traçar linha de correlação”.

Logo, estão corretas apenas I, II e III.

Alternativa correta: (b).