Sejam A ∈ M_{m×n}, X ∈ M_{n×1}. Se o sistema homogêneo AX = 0 tem infinitas soluções, então o sistema AX = B também tem infinitas soluções para qualquer B ∈ M_{m×1}.

1. Como $X\in M_{n\times 1}$, estamos falando de um sistema linear com $n$ incógnitas.

2. O sistema homogêneo $AX=0$ ter infinitas soluções significa que o núcleo (espaço nulo) de $A$ é não trivial: $\dim(\ker A)=n-\operatorname{rank}(A)>0.$ Equivalente a dizer que $\operatorname{rank}(A)<n$ (há variáveis livres).

3. Para o sistema não homogêneo $AX=B$, existem dois cenários:

• Se $B\in \operatorname{Im}(A)$ (isto é, $B$ está no espaço coluna de $A$), então o sistema é compatível (tem pelo menos uma solução particular). Nesse caso, como $\ker(A)$ é não trivial, a solução geral é $X=X_p+v,\quad v\in\ker(A),$ o que gera infinitas soluções.
• Se $B\notin \operatorname{Im}(A)$, então o sistema é incompatível e tem zero soluções.

4. Como a afirmação diz que $AX=B$ tem infinitas soluções para qualquer $B\in M_{m\times 1}$, ela falha, pois existem vetores $B$ fora da imagem de $A$ para os quais o sistema não tem solução.

Conclusão: a proposição é falsa (só é verdade para todo $B$ quando $A$ é sobrejetora, isto é, quando $\operatorname{rank}(A)=m$, o que não é garantido).

Alternativa correta: não há alternativas; a assertiva é falsa.