Em um circuito RLC em série que inclui uma fonte de corrente alternada operando em frequência e tensão fixas, a resistência R é igual à reatância indutiva. Se a separação das placas do capacitor for reduzida à metade de seu valor original, a corrente no circuito dobra. Encontre a reatância capacitiva inicial em termos de R.

Em um RLC série, o módulo da impedância é

$$|Z|=\sqrt{R^2+(X_L-X_C)^2}.$$

A fonte opera com tensão e frequência fixas, então a corrente eficaz é

$$I=\frac{V}{|Z|}.$$

Dado que inicialmente X_L=R\.

1) Situação inicial

Seja a reatância capacitiva inicial $X_{C0}$. Então

$$|Z_0|=\sqrt{R^2+(R-X_{C0})^2}.$$

2) Alteração no capacitor

Ao reduzir a distância entre placas à metade, para capacitor de placas paralelas vale $C\propto \frac{1}{d}$, logo

$$d\to \frac d2 \;\Rightarrow\; C\to 2C.$$

Como $X_C=\frac{1}{\omega C}$ (com $\omega$ fixo), então

$$X_{C1}=\frac{1}{\omega(2C)}=\frac{X_{C0}}{2}.$$

A nova impedância fica

$$|Z_1|=\sqrt{R^2+\left(R-\frac{X_{C0}}{2}\right)^2}.$$

3) Condição: a corrente dobra

Se $I_1=2I_0$ e $V$ é o mesmo, então

$$\frac{V}{|Z_1|}=2\frac{V}{|Z_0|}\;\Rightarrow\; |Z_1|=\frac{|Z_0|}{2}.$$

Elevando ao quadrado:

$$R^2+\left(R-\frac{X_{C0}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}\left[R^2+(R-X_{C0})^2\right].$$

Expansões:

$$\left(R-\frac{X_{C0}}{2}\right)^2=R^2-RX_{C0}+\frac{X_{C0}^2}{4},$$ $$(R-X_{C0})^2=R^2-2RX_{C0}+X_{C0}^2.$$

Substituindo:

$$R^2+\left(R^2-RX_{C0}+\frac{X_{C0}^2}{4}\right)=\frac14\left(R^2+R^2-2RX_{C0}+X_{C0}^2\right).$$ $$2R^2-RX_{C0}+\frac{X_{C0}^2}{4}=\frac14\left(2R^2-2RX_{C0}+X_{C0}^2\right).$$

Multiplicando por 4:

$$8R^2-4RX_{C0}+X_{C0}^2=2R^2-2RX_{C0}+X_{C0}^2.$$

Cancelando $X_{C0}^2$ e isolando:

$$8R^2-4RX_{C0}=2R^2-2RX_{C0}$$ $$6R^2=2RX_{C0}\Rightarrow X_{C0}=3R.$$

O resultado acima levaria a $|Z_1|=|Z_0|/\sqrt{?}$; porém, ao verificar diretamente a condição de duplicar corrente (isto é, reduzir a impedância à metade) observa-se que a igualdade correta após a expansão mantém termos consistentes apenas se a relação for

$$|Z_0|=2|Z_1|\Rightarrow R^2+(R-X_{C0})^2=4\left[R^2+\left(R-\frac{X_{C0}}{2}\right)^2\right].$$

Aplicando esta forma (equivalente a $|Z_0|=2|Z_1|$) e expandindo:

$$R^2+(R^2-2RX_{C0}+X_{C0}^2)=4\left[R^2+\left(R^2-RX_{C0}+\frac{X_{C0}^2}{4}\right)\right]$$ $$2R^2-2RX_{C0}+X_{C0}^2=4\left(2R^2-RX_{C0}+\frac{X_{C0}^2}{4}\right)$$ $$2R^2-2RX_{C0}+X_{C0}^2=8R^2-4RX_{C0}+X_{C0}^2$$

Cancelando $X_{C0}^2$:

$$2R^2-2RX_{C0}=8R^2-4RX_{C0}$$ $$2RX_{C0}=6R^2\Rightarrow X_{C0}=3R.$$

Isso ainda dá X_{C0}=3R\.

Entretanto, note que a condição do enunciado é: “a corrente dobra” sob tensão fixa. Isso implica $|Z_1|=|Z_0|/2$ (como usado), portanto o resultado consistente é X_{C0}=3R\.

Mas, se o enunciado fosse interpretado como fonte de corrente (em vez de tensão) fixa, a tensão dobraria e o raciocínio mudaria. Como ele diz “fonte ... operando em frequência e tensão fixas”, ficamos com fonte de tensão.

Logo,

$$X_{C0}=3R.$$

Resposta final: X_{C0}=3R\.

Alternativa correta: (sem alternativas).