Um capacitor com capacitância variável é usado em um rádio AM que é constituído por um circuito RLC forçado. Para sintonizar em uma estação com frequência de 580 kHz a capacitância é ajustada em um valor de 2800 pF. (a) Qual deve ser a capacitância para se sintonizar em uma estação com frequência de 1600 kHz? (b) Qual é a indutância do indutor (mantida sempre constante)?

Em um circuito RLC sintonizado (forçado), a frequência de ressonância é

$$f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\quad\Rightarrow\quad f\propto \frac{1}{\sqrt{C}}\ (L\ \text{constante}).$$

Dados:

• $f_1=580\,\text{kHz}=5{,}80\times 10^5\,\text{Hz}$
• $C_1=2800\,\text{pF}=2{,}8\times 10^{-9}\,\text{F}$
• $f_2=1600\,\text{kHz}=1{,}60\times 10^6\,\text{Hz}$

(a) Capacitância para 1600 kHz

Como $f\propto 1/\sqrt{C}$ (com $L$ constante):

$$\frac{f_1}{f_2}=\sqrt{\frac{C_2}{C_1}} \quad\Rightarrow\quad C_2=C_1\left(\frac{f_1}{f_2}\right)^2.$$

Substituindo:

$$C_2=2800\,\text{pF}\left(\frac{580}{1600}\right)^2 =2800\,\text{pF}\,(0{,}3625)^2 \approx 2800\,\text{pF}\,(0{,}1314) \approx 3{,}68\times 10^2\,\text{pF}.$$

Logo,

$$C_2\approx 367\,\text{pF}.$$

(b) Indutância do indutor

Da expressão da ressonância:

$$L=\frac{1}{(2\pi f_1)^2\,C_1}.$$

Calculando:

$$2\pi f_1\approx 2\pi(5{,}80\times 10^5)\approx 3{,}644\times 10^6\,\text{s}^{-1}$$ $$(2\pi f_1)^2\approx (3{,}644\times 10^6)^2\approx 1{,}328\times 10^{13}$$ $$(2\pi f_1)^2C_1\approx (1{,}328\times 10^{13})(2{,}8\times 10^{-9})\approx 3{,}72\times 10^4$$ $$L\approx \frac{1}{3{,}72\times 10^4}\,\text{H}\approx 2{,}69\times 10^{-5}\,\text{H}=26{,}9\,\mu\text{H}.$$

Observação: o valor final é $L\approx 26{,}9\,\mu\text{H}$.

Alternativa correta: (sem alternativas).