Considere a função $f(x,y)=2x^3+xy-y$ Com base nessa função e nas propriedades de derivadas parciais de primeira e segunda ordem de funções de duas variáveis, analise os itens que seguem. I. A derivada parcial de primeira ordem da função em relação à $x$ é dada por $f_x=2x^2$. II. A derivada parcial de segunda ordem da função em relação à $y$ é dada por $f_{yy}=0$. III. A derivada parcial de segunda ordem mista da função é dada por $f_{xy}=f_{yx}=x$. Assinale a alternativa correta.

Vamos calcular as derivadas parciais.

Função: $f(x,y)=2x^3+xy-y$.

Item I: derivada parcial em relação a $x$:

• $\frac{\partial}{\partial x}(2x^3)=6x^2$
• $\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y$ (pois $y$ é constante)
• $\frac{\partial}{\partial x}(-y)=0$ Logo, $f_x=6x^2+y.$ O item I afirma $f_x=2x^2$, o que está incorreto.

Item II: derivada parcial de segunda ordem em relação a $y$: Primeiro, $f_y=\frac{\partial}{\partial y}(2x^3)+\frac{\partial}{\partial y}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}(-y)=0+x-1=x-1.$ Agora, $f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(x-1)=0.$ Portanto, o item II está correto.

Item III: derivada mista de segunda ordem:

• A partir de $f_x=6x^2+y$, temos $f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(6x^2+y)=1.$
• A partir de $f_y=x-1$, temos $f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}(x-1)=1.$ Logo, $f_{xy}=f_{yx}=1$, e não $x$. Então o item III está incorreto.

Conclui-se que apenas o item II está correto. Alternativa correta: (b).