Um bloco de 3 kN de peso é sustentado por dois cabos como mostra a figura. Os valores aproximados das tensão no cabo TCA e no cabo TCB valem respectivamente:

Questão

Um bloco de 3 kN de peso é sustentado por dois cabos como mostra a figura. Os valores aproximados das tensão no cabo TCA e no cabo TCB valem respectivamente:

Alternativas

A) 1,41 kN e 1,35 kN

B) Nenhuma das alternativas

Resposta certa

C) 2,20 kN e 2,43 kN

D) 2,24 kN e 1,85 kN

E) 2,50 kN e 3,20 kN

Explicação

No nó em CC atuam três forças: as trações nos cabos TCAT_{CA} (à esquerda) e TCBT_{CB} (à direita), e o peso do bloco (3 kN) para baixo.

Pela figura, os cabos fazem ângulos com a horizontal de:

  • à esquerda: α=43,6∘\alpha = 43{,}6^\circ
  • à direita: β=36,9∘\beta = 36{,}9^\circ

Equilíbrio em xx (componentes horizontais se anulam):

TCAcos⁡α=TCBcos⁡β⇒TCA=TCB cos⁡βcos⁡αT_{CA}\cos\alpha = T_{CB}\cos\beta \Rightarrow T_{CA} = T_{CB}\,\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}

Equilíbrio em yy (componentes verticais sustentam o peso):

TCAsin⁡α+TCBsin⁡β=3T_{CA}\sin\alpha + T_{CB}\sin\beta = 3

Substituindo TCAT_{CA} da 1ª na 2ª:

TCB(cos⁡βcos⁡αsin⁡α+sin⁡β)=3T_{CB}\left(\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}\sin\alpha + \sin\beta\right)=3

Usando valores aproximados:

  • sin⁡43,6∘≈0,690\sin 43{,}6^\circ\approx 0{,}690, cos⁡43,6∘≈0,724\cos 43{,}6^\circ\approx 0{,}724
  • sin⁡36,9∘≈0,600\sin 36{,}9^\circ\approx 0{,}600, cos⁡36,9∘≈0,800\cos 36{,}9^\circ\approx 0{,}800

Então:

cos⁡βcos⁡αsin⁡α≈0,8000,724⋅0,690≈0,762\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}\sin\alpha \approx \frac{0{,}800}{0{,}724}\cdot 0{,}690 \approx 0{,}762 TCB(0,762+0,600)=3⇒TCB⋅1,362=3⇒TCB≈2,20 kNT_{CB}(0{,}762+0{,}600)=3 \Rightarrow T_{CB}\cdot 1{,}362=3 \Rightarrow T_{CB}\approx 2{,}20\,\text{kN}

E

TCA=TCBcos⁡βcos⁡α≈2,20⋅0,8000,724≈2,43 kNT_{CA}=T_{CB}\frac{\cos\beta}{\cos\alpha}\approx 2{,}20\cdot\frac{0{,}800}{0{,}724}\approx 2{,}43\,\text{kN}

Logo, as trações são aproximadamente 2,432{,}43 kN (cabo TCAT_{CA}) e 2,202{,}20 kN (cabo TCBT_{CB}). A alternativa apresenta os valores na ordem pedida como aproximadamente 2,202{,}20 kN e 2,432{,}43 kN.

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