Considere os seguintes gráficos, representativos da função afim f e da função quadrática g tal como a figura sugere. -1 é zero de f e 2 é zero de g. Qual a solução da inequação quociente f(x)/g(x) < 0?

Pelo gráfico:

1) Sinal de $f(x)$ (função afim): A reta é crescente e zera em $x=-1$.

• Se $x<-1$, então $f(x)<0$.
• Se $x>-1$, então $f(x)>0$.

2) Sinal de $g(x)$ (função quadrática): A parábola é voltada para baixo e tangencia o eixo $x$ em $x=2$ (ou seja, $2$ é raiz dupla). Logo:

• $g(2)=0$.
• Para $x\neq 2$, a parábola está abaixo do eixo $x$, então $g(x)<0$ para todo $x\in\mathbb{R}\setminus\{2\}$.

3) Análise do quociente $\dfrac{f(x)}{g(x)}<0$: Como para $x\neq 2$ temos $g(x)<0$, o quociente será negativo exatamente quando $f(x)>0$.

Então precisamos de:

• $f(x)>0 \iff x>-1$,
• e também $x\neq 2$ (pois em $x=2$ o denominador zera e a expressão não existe).

Assim, a solução é: [ (-1,\infty)\setminus{2}=(-1,2)\cup(2,\infty). ]

Alternativa correta: (e).