Analise a situação abaixo: Diante da situação apresentada, avalie as afirmativas abaixo: I. A igualdade apresentada é verdadeira, uma vez que foram mantidas as propriedades da função no intervalo. II. As integrais do lado direito são impróprias, pois possuem intervalos infinitos. III. A integral da esquerda converge para 1. É correto o que se afirma em:

A igualdade dada é

$\displaystyle \int_{-\infty}^{1} (x^{2}+1)\,dx = \int_{-\infty}^{0} (x^{2}+1)\,dx + \int_{0}^{1} (x^{2}+1)\,dx$.

Para avaliar as afirmativas, primeiro analisemos a integral imprópria do lado esquerdo:

$\displaystyle \int_{-\infty}^{1} (x^{2}+1)\,dx = \lim_{a\to -\infty}\int_{a}^{1} (x^{2}+1)\,dx$.

Uma primitiva é

$\int (x^2+1)dx = \frac{x^3}{3}+x.$

Logo,

$\int_{a}^{1} (x^{2}+1)\,dx = \left(\frac{1^3}{3}+1\right) - \left(\frac{a^3}{3}+a\right)=\frac{4}{3}-\frac{a^3}{3}-a.$

Quando $a\to -\infty$, temos $a^3\to -\infty$, então $-\frac{a^3}{3}\to +\infty$ (e também $-a\to +\infty$). Portanto,

$\displaystyle \int_{-\infty}^{1} (x^{2}+1)\,dx$ diverge (vai para $+\infty$).

Agora, as afirmativas:

I. A propriedade de aditividade $\int_{-\infty}^{1} f = \int_{-\infty}^{0} f + \int_{0}^{1} f$ só é usada com segurança quando as integrais envolvidas são bem definidas (convergentes). Aqui, $\int_{-\infty}^{1}(x^2+1)dx$ diverge; além disso, $\int_{-\infty}^{0}(x^2+1)dx$ também diverge. Assim, não se pode justificar a “verdade” da igualdade apenas por propriedade de intervalo. Falsa.

II. No lado direito, $\int_{-\infty}^{0} (x^{2}+1)\,dx$ é uma integral imprópria por ter limite infinito (intervalo infinito). Já $\int_{0}^{1}$ é própria. Como a afirmativa diz “as integrais do lado direito são impróprias” no sentido de haver integral imprópria no lado direito por intervalo infinito, a caracterização relevante (presença de intervalo infinito) é verdadeira para a integral $\int_{-\infty}^{0}$. Verdadeira.

III. A integral da esquerda não converge para 1; na verdade, ela diverge para $+\infty$. Falsa.

Conclui-se que apenas a afirmativa II está correta.

Alternativa correta: (C).