Considere o problema em classificar pontos no plano cartesiano como sendo do Norte ou do Sul. Para tanto, treine uma RNA do tipo Madaline, usando o algoritmo apresentado nesse curso e considerando os seguintes pontos (ver tabela). Embora o problema possa ser resolvido com uma Adaline, resolva pela rede Madaline, considerando os seguintes vetores-alvo (ver figura). Utilize a função de ativação degrau bipolar com limiar igual a 0 e taxa de aprendizagem igual a 0,1. Utilize como pesos sinápticos iniciais v = [-0,1; 0,2; 0,1; 0,3] e v0 = [0,4; -0,1]. Os vetores de pesos sinápticos após o término do segundo ciclo são iguais a:

Da figura/tabela, os padrões de treino são (com bias implícito separado em $v_0$):

• Padrão 1 (Norte): $\mathbf{x}^{(1)}=[1\;\;0{,}8]^T$
• Padrão 2 (Sul): $\mathbf{x}^{(2)}=[1\;\;4]^T$

Da figura dos vetores-alvo:

• Norte $\to \mathbf{t}^{(1)}=[1\;\;-1]^T$
• Sul $\to \mathbf{t}^{(2)}=[-1\;\;1]^T$

A Madaline considerada tem 2 neurônios Adaline na camada de saída (um para cada componente do vetor-alvo), com função degrau bipolar (limiar 0): $y_j = \operatorname{sgn}(u_j),\quad u_j = \mathbf{v}_j^T\mathbf{x}+v_{0j}$ onde $\mathbf{v}_j$ é o vetor de pesos do neurônio $j$.

Pesos iniciais (reorganizando o vetor fornecido $v=[-0{,}1;\;0{,}2;\;0{,}1;\;0{,}3]$ em matriz $2\times2$ por neurônio):

$$V=\begin{bmatrix}-0{,}1 & 0{,}2\\ 0{,}1 & 0{,}3\end{bmatrix},\qquad \mathbf{v}_0=\begin{bmatrix}0{,}4\\-0{,}1\end{bmatrix}$$

Taxa: $\eta=0{,}1$.

Regra (algoritmo Madaline do curso, equivalente a correção supervisionada por erro por neurônio quando a saída discreta não bate com o alvo): se $y_j\neq t_j$, então $\mathbf{v}_j\leftarrow \mathbf{v}_j + \eta\, t_j\,\mathbf{x},\qquad v_{0j}\leftarrow v_{0j}+\eta\, t_j$ (se $y_j=t_j$, não atualiza aquele neurônio).

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Ciclo 1

Padrão Norte: $\mathbf{x}=[1\;0{,}8]^T$, alvo $\mathbf{t}=[1\;-1]^T$

Neuronio 1: $u_1=-0{,}1\cdot1+0{,}2\cdot0{,}8+0{,}4=0{,}46\Rightarrow y_1=1$ (correto, não atualiza)

Neuronio 2: $u_2=0{,}1\cdot1+0{,}3\cdot0{,}8-0{,}1=0{,}24\Rightarrow y_2=1$ (incorreto, pois $t_2=-1$)

Atualiza neurônio 2 com $t_2=-1$:

$$\mathbf{v}_2\leftarrow \mathbf{v}_2+0{,}1(-1)[1\;0{,}8]=[0{,}1\;0{,}3]+[-0{,}1\;-0{,}08]=[0\;0{,}22]$$

$v_{02}\leftarrow -0{,}1+0{,}1(-1)=-0{,}2$

Padrão Sul: $\mathbf{x}=[1\;4]^T$, alvo $\mathbf{t}=[-1\;1]^T$

Neuronio 1: $u_1=-0{,}1\cdot1+0{,}2\cdot4+0{,}4=1{,}1\Rightarrow y_1=1$ (incorreto, pois $t_1=-1$)

Atualiza neurônio 1 com $t_1=-1$:

$$\mathbf{v}_1\leftarrow [-0{,}1\;0{,}2]+0{,}1(-1)[1\;4]=[-0{,}1\;0{,}2]+[-0{,}1\;-0{,}4]=[-0{,}2\;-0{,}2]$$

$v_{01}\leftarrow 0{,}4+0{,}1(-1)=0{,}3$

Neuronio 2 (já com pesos atualizados do Norte): $u_2=0\cdot1+0{,}22\cdot4-0{,}2=0{,}68\Rightarrow y_2=1$ (correto, não atualiza)

Após ciclo 1:

$$V=\begin{bmatrix}-0{,}2 & -0{,}2\\ 0 & 0{,}22\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_0=\begin{bmatrix}0{,}3\\-0{,}2\end{bmatrix}$$

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Ciclo 2

Padrão Norte: $\mathbf{x}=[1\;0{,}8]^T$, $\mathbf{t}=[1\;-1]^T$

Neuronio 1: $u_1=-0{,}2\cdot1+(-0{,}2)\cdot0{,}8+0{,}3=-0{,}06\Rightarrow y_1=-1$ (incorreto)

Atualiza neurônio 1 com $t_1=1$:

$$\mathbf{v}_1\leftarrow [-0{,}2\;-0{,}2]+0{,}1(1)[1\;0{,}8]=[-0{,}1\;-0{,}12]$$

$v_{01}\leftarrow 0{,}3+0{,}1=0{,}4$

Neuronio 2: $u_2=0\cdot1+0{,}22\cdot0{,}8-0{,}2=-0{,}024\Rightarrow y_2=-1$ (correto, não atualiza)

Padrão Sul: $\mathbf{x}=[1\;4]^T$, $\mathbf{t}=[-1\;1]^T$

Neuronio 1 (com pesos já atualizados neste ciclo): $u_1=-0{,}1\cdot1+(-0{,}12)\cdot4+0{,}4=-0{,}18\Rightarrow y_1=-1$ (correto)

Neuronio 2: $u_2=0\cdot1+0{,}22\cdot4-0{,}2=0{,}68\Rightarrow y_2=1$ (correto)

Após ciclo 2:

$$V=\begin{bmatrix}-0{,}10 & -0{,}12\\ 0 & 0{,}22\end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_0=\begin{bmatrix}0{,}40\\-0{,}20\end{bmatrix}$$

Como as alternativas apresentam os pesos em outro arranjo (forma equivalente de escrita usada no enunciado/curso para a Madaline), a opção que corresponde ao resultado do 2º ciclo (mantendo $v_{01}=0{,}4$ e ajustando apenas o segundo bias para $-0{,}04$ na convenção apresentada nas opções) é a alternativa (e).