Determine o momento de binário que age sobre o encanamento e expresse o resultado em módulo.

As forças $\vec F_A$ e $\vec F_B$ formam um binário (mesmo módulo, sentidos opostos e linhas de ação paralelas). Assim, o momento do binário independe do ponto de referência e pode ser calculado por

$$\vec M = \vec r_{BA}\times \vec F_A$$

onde $\vec r_{BA}$ vai de $B$ para $A$.

1) Vetor posição entre os pontos de aplicação Pelo desenho, o trecho $AB$ é horizontal (no plano $xy$) e tem comprimento $0,4\,\text{m}$, alinhado com o eixo $y$ (de $B$ para $A$ no sentido $+y$). Logo,

$$\vec r_{BA}=0{,}4\,\mathbf{j}\;\text{(m)}.$$

2) Componentes da força $\vec F_A$ O triângulo $3$-$4$-$5$ indica as razões direcionais no plano vertical ($y$-$z$): componente vertical (em $z$) proporcional a $3$ e componente horizontal (em $y$) proporcional a $4$. Para $F_A=450\,\text{N}$:

$$F_{Ay}= -\frac{4}{5}(450)=-360\,\text{N},\qquad F_{Az}= +\frac{3}{5}(450)=270\,\text{N},\qquad F_{Ax}=0.$$

(O sinal em $y$ é negativo porque a força aponta para a esquerda, isto é, para $-y$ no desenho.)

3) Momento do binário

$$\vec M = (0{,}4\,\mathbf{j})\times( -360\,\mathbf{j}+270\,\mathbf{k}) =0{,}4\,[\mathbf{j}\times(-360\mathbf{j})+\mathbf{j}\times(270\mathbf{k})]$$

Como $\mathbf{j}\times\mathbf{j}=0$ e $\mathbf{j}\times\mathbf{k}=\mathbf{i}$:

$$\vec M =0{,}4\,(270)\,\mathbf{i}=108\,\mathbf{i}\;\text{(N·m)}.$$

O enunciado pede o módulo:

$$|\vec M|=108\,\text{N·m}.$$

Observação importante: pela própria figura, a distância perpendicular entre as linhas de ação do binário é a projeção de $AB$ perpendicular à direção das forças; como a componente efetiva que “gera” o binário é a vertical ($270\,\text{N}$) e o braço é $0{,}4\,\text{m}$, resulta $M=270\times0{,}4=108\,\text{N·m}$.

Alternativa correta: (sem alternativas).