Estatística: Um determinado país alega que seus habitantes vivem além dos 60 anos a uma proporção de 0,60. Se de cada mil habitantes, 530 ultrapassam 60 anos de idade, é possível confirmar a afirmação ao nível de 5% de significância? Marque a alternativa correta.

Vamos testar a afirmação do país sobre a proporção de habitantes que ultrapassam 60 anos.

1) Hipóteses

• $H_0: p = 0{,}60$ (a proporção verdadeira é 0,60)
• $H_1: p \neq 0{,}60$ (a proporção verdadeira é diferente de 0,60)

2) Dados da amostra

• Tamanho da amostra: $n = 1000$
• Sucessos (ultrapassam 60 anos): $x = 530$
• Proporção amostral: $\hat p = \frac{530}{1000} = 0{,}53$

3) Estatística de teste (teste Z para proporção) Sob $H_0$, o erro-padrão é: $SE = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0{,}60\cdot 0{,}40}{1000}} = \sqrt{0{,}00024} \approx 0{,}01549.$ Então, $z = \frac{\hat p - p_0}{SE} = \frac{0{,}53 - 0{,}60}{0{,}01549} \approx \frac{-0{,}07}{0{,}01549} \approx -4{,}52.$

4) Região crítica / decisão (5% de significância, bicaudal) Para $\alpha = 0{,}05$ bicaudal, o valor crítico é aproximadamente $\pm 1{,}96$. Como $z \approx -4{,}52 < -1{,}96$, rejeitamos $H_0$.

5) Conclusão Com 5% de significância, os dados (0,53 na amostra) são incompatíveis com a alegação de que a proporção seja 0,60. Logo, não é possível confirmar a afirmação do país; ao contrário, há evidência de que a proporção é menor que 0,60.

Alternativa correta: (D).