Maria Helena deseja calcular a TIR referente ao seu investimento na sua empresa de Patinetes, a uma taxa efetiva de 4% ao ano. Conforme a tabela abaixo de investimentos, assinale a alternativa correta que corresponde ao valor da TIR: Ano | Investimento 0 | -R$ 25.000,00 1 | R$ 5.000,00 2 | R$ 5.000,00 3 | R$ 10.000,00 4 | R$ 3.000,00 5 | R$ 3.000,00 Taxa efetiva: 4%

Para encontrar a TIR (taxa interna de retorno), igualamos o VPL a zero:

$\displaystyle 0 = -25000 + \frac{5000}{(1+i)^1}+\frac{5000}{(1+i)^2}+\frac{10000}{(1+i)^3}+\frac{3000}{(1+i)^4}+\frac{3000}{(1+i)^5}$

Ou seja, buscamos a taxa $i$ que zera o valor presente dos fluxos.

Vamos testar as alternativas (taxas ao ano):

1) Teste em $i=3{,}8\%$

Fatores de desconto aproximados:

• $(1{,}038)^1=1{,}038 \Rightarrow \frac{1}{1{,}038}\approx 0{,}9634$
• $(1{,}038)^2\approx 1{,}0774 \Rightarrow \frac{1}{1{,}0774}\approx 0{,}9282$
• $(1{,}038)^3\approx 1{,}1183 \Rightarrow \frac{1}{1{,}1183}\approx 0{,}8942$
• $(1{,}038)^4\approx 1{,}1608 \Rightarrow \frac{1}{1{,}1608}\approx 0{,}8615$
• $(1{,}038)^5\approx 1{,}2049 \Rightarrow \frac{1}{1{,}2049}\approx 0{,}8299$

Valor presente das entradas:

• Ano 1: $5000\cdot 0{,}9634\approx 4817$
• Ano 2: $5000\cdot 0{,}9282\approx 4641$
• Ano 3: $10000\cdot 0{,}8942\approx 8942$
• Ano 4: $3000\cdot 0{,}8615\approx 2585$
• Ano 5: $3000\cdot 0{,}8299\approx 2490$

Somando: $4817+4641+8942+2585+2490 \approx 23475$.

Então: $\text{VPL} \approx -25000 + 23475 = -1525$ (negativo).

Como o VPL ficou negativo, a TIR deve ser menor que 3,8%? Cuidado: se reduzimos a taxa, o desconto diminui e o VP das entradas aumenta, logo o VPL sobe (fica menos negativo / pode chegar a zero). Portanto, a TIR está um pouco abaixo de 3,8%.

2) Comparação com as demais alternativas

• Se $i=6{,}7\%$, o desconto é maior, o VP cai ainda mais → VPL ficaria ainda mais negativo (não zera).
• Se $i=2{,}3\%$, o VP aumenta em relação a 3,8% → VPL ficaria menos negativo e mais próximo de zero.

Para verificar a proximidade: em $i=0\%$, soma das entradas é $5000+5000+10000+3000+3000=26000$, então $\text{VPL}(0\%)=+1000$. Como em 3,8% deu cerca de $-1525$, a raiz (TIR) está entre 0% e 3,8% e mais próxima de algo em torno de 2%–3%.

Entre as opções, 2,3% parece numericamente mais plausível que 3,8%. Porém, vamos checar rapidamente $i=2,3\%$:

Aproximando fatores:

• $1/(1{,}023)\approx 0{,}9775$ → $5000\approx 4888$
• $1/(1{,}023)^2\approx 0{,}9555$ → $5000\approx 4778$
• $1/(1{,}023)^3\approx 0{,}9340$ → $10000\approx 9340$
• $1/(1{,}023)^4\approx 0{,}9130$ → $3000\approx 2739$
• $1/(1{,}023)^5\approx 0{,}8925$ → $3000\approx 2678$

Soma VP $\approx 4888+4778+9340+2739+2678=24423$.

$\text{VPL}(2{,}3\%)\approx -25000+24423=-577$ (ainda negativo).

Como em 0% é +1000 e em 2,3% é -577, a TIR está entre 0% e 2,3%, mais perto de ~1,4%–1,9%.

Testando mentalmente $i=1{,}9\%$ (taxa menor que 2,3%) o VPL sobe e se aproxima de zero; e $i=1{,}43\%$ menor ainda, VPL sobe mais.

Assim, a alternativa que melhor representa a TIR é 1,9%.

Alternativa correta: (d).