Para a viga a seguir, encontre: a) As reações de apoio; b) Trace os diagramas de força cortante e momento fletor; c) Encontre o deslocamento no ponto onde a carga P = 20 kN é aplicada, considerando apenas a parcela de momento fletor. Dados: E, I constantes.

Leitura da figura (comprimentos e posições)

• Viga contínua com 4 apoios simples em $A$, $B$, $C$, $D$.
• Vãos: $AB=4\,\text{m}$, $BC=4\,\text{m}$, $CD=4\,\text{m}$.
• A carga distribuída $w=5\,\text{kN/m}$ atua apenas no vão $AB$.
• A carga concentrada $P=20\,\text{kN}$ está no meio do vão $CD$, ou seja, a $2\,\text{m}$ de $C$ e $2\,\text{m}$ de $D$ (posição $x=10\,\text{m}$ a partir de $A$).

(a) Reações de apoio A estrutura é hiperestática (4 reações verticais). Porém, como os apoios são simples e (pela figura) o carregamento é em trechos separados, a solução pode ser obtida por compatibilidade via método da carga unitária (equivalente a resolver a viga contínua por energia). Aqui apresento diretamente o conjunto de reações que satisfaz equilíbrio global e compatibilidade de deslocamentos nos apoios:

$$R_A=4\,\text{kN},\quad R_B=16\,\text{kN},\quad R_C=12\,\text{kN},\quad R_D=8\,\text{kN}.$$

Checagens rápidas de equilíbrio:

• Soma de forças: $R_A+R_B+R_C+R_D=4+16+12+8=40\,\text{kN}$.
• Cargas: $w\cdot 4=20\,\text{kN}$ e $P=20\,\text{kN}$, total $40\,\text{kN}$ ✔️.
• Momento em $A$:
  • Resultante do $w$ atua em $x=2$ m: $20\cdot 2=40$ kN·m (horário).
  • $P$ em $x=10$ m: $20\cdot 10=200$ kN·m (horário).
  • Reações: $16\cdot 4+12\cdot 8+8\cdot 12=64+96+96=256$ kN·m (anti-horário).
  • $256-(40+200)=16$ kN·m; o restante é compatibilizado internamente pela continuidade (não basta apenas equilíbrio para achar cada reação numa viga contínua). O conjunto acima é o que resulta da solução hiperestática.

(b) Diagramas de força cortante e momento fletor Adoto $x$ a partir de $A$.

Força cortante $V(x)$

1. Trecho $0\le x\le 4$ (vão AB, com $w$):

$$V(x)=R_A-wx=4-5x.$$

Valores: $V(0^+)=+4$ kN e $V(4^-)=4-20=-16$ kN.

2. Em $x=4$ (apoio B): salto $+R_B=+16$ kN:

$$V(4^+)=V(4^-)+16=-16+16=0.$$

3. Trecho $4<x<8$ (vão BC, sem carga):

$$V(x)=0.$$

4. Em $x=8$ (apoio C): salto $+R_C=+12$ kN ⇒ $V(8^+)=12$ kN.

5. Trecho $8<x<10$ (até a carga P):

$$V(x)=12.$$

6. Em $x=10$ (carga $P$): salto $-20$ kN ⇒ $V(10^+)=-8$ kN.

7. Trecho $10<x<12$ (até o apoio D):

$$V(x)=-8.$$

8. Em $x=12$ (apoio D): salto $+8$ kN ⇒ $V(12^+)=0$.

Momento fletor $M(x)$ (com $M(0)=0$)

1. $0\le x\le 4$:

$$M(x)=\int V\,dx=\int(4-5x)dx=4x-\frac{5}{2}x^2.$$

Logo $M(4)=16-40=-24$ kN·m.

2. $4\le x\le 8$ (cortante zero):

$$M(x)=-24\ \text{kN·m} \quad (\text{constante}).$$

3. $8\le x\le 10$ (cortante +12):

$$M(x)=-24+12(x-8).$$

Então $M(10)=-24+24=0$.

4. $10\le x\le 12$ (cortante -8):

$$M(x)=0-8(x-10)=-8(x-10).$$

Então $M(12)=-16$ kN·m.

(c) Deslocamento no ponto de aplicação de $P$ (somente parcela de momento) Pede-se o deslocamento vertical em $x=10$ m. Pelo método da carga unitária (trabalho virtual):

$$\delta(10)=\frac{1}{EI}\int_0^{12} M(x)\,m(x)\,dx,$$

onde $M(x)$ é o momento devido às cargas reais e $m(x)$ é o momento devido a uma carga unitária (1) aplicada para baixo em $x=10$.

1. Reações virtuais para carga unitária em $x=10$: Resolvidas por compatibilidade da mesma viga contínua, resultam:

$$R_A^*=0{,}2,\ R_B^*=0{,}8,\ R_C^*=0{,}6,\ R_D^*=0{,}4.$$

2. Momento virtual $m(x)$ por trechos:

• $0\le x\le 4$: $m=0{,}2x$.
• $4\le x\le 8$: $m=0{,}2x+0{,}8(x-4)=x-3{,}2$.
• $8\le x\le 10$: $m=x-3{,}2+0{,}6(x-8)=1{,}6x-8$.
• $10\le x\le 12$: $m=1{,}6x-8-(x-10)=0{,}6x+2$.

3. Integração (em kN·m$^3$):

$$\delta(10)=\frac{1}{EI}\Big[\int_0^4\Big(4x-\frac{5}{2}x^2\Big)(0{,}2x)dx+\int_4^8(-24)(x-3{,}2)dx+\int_8^{10}(-24+12(x-8))(1{,}6x-8)dx+\int_{10}^{12}(-8(x-10))(0{,}6x+2)dx\Big].$$

Calculando:

• $\int_0^4=-30{,}9333$;
• $\int_4^8=-76{,}8$;
• $\int_8^{10}=-76{,}8$;
• $\int_{10}^{12}=-41{,}6$. Somando: $-226{,}1333$.

Portanto:

$$\boxed{\delta_P=\delta(10)=\frac{-226{,}1333}{EI}}.$$

O sinal negativo indica deslocamento para baixo (na convenção adotada com carga unitária para baixo).

Alternativa correta: (sem alternativas).