Questões de Teoria dos Números

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2 048 é um jogo de raciocínio on-line imperdível por sua mistura de movimentos simples com a necessidade de boa estratégia e inteligência. O jogo consiste de uma tela de 4 quadrados por 4 quadrados e começa com dois blocos com o número 2. Aperte uma das quatro setas de direção, e todos os números da tela se moverão no sentido indicado, até o fim da linha onde estão. Se um bloco encostar em outro com o mesmo número, eles se somam e viram um único bloco com o resultado da soma. O objetivo é alcançar um bloco com a soma de 2 048. Além disso, a cada jogada, um novo número (sempre uma potência de 2 inferior a 2048) é adicionado à tela, e, se você não somar números suficientes, a tela será toda preenchida e não haverá mais jogadas possíveis, então você perde. No exemplo a seguir, apertou-se a seta para a direita na primeira jogada, o que resultou no número 4 no final da segunda linha, além do aparecimento do número 2 na quarta linha. O objetivo do jogo 2048 é mover os blocos de números e somar potências de 2 iguais até atingir 2048. Ao alcançar esse objetivo, o jogador vence o jogo. Considerando que os quadrados perfeitos têm expoente par, quantos são os quadrados perfeitos distintos que aparecem na tela do jogo 2048 até o jogador vencê-lo? (Dica: 2048 = 2^11)
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