Se n é um número inteiro ímpar, então n^2 é ímpar. Um estudante de Métodos de Demonstração assim escreveu: Suponhamos que n é ímpar, n = 2k + 1 para algum inteiro k. PORQUE q = 2k^2 + 2k é um inteiro. Portanto, n^2 é ímpar. A respeito da afirmação feita pelo estudante, assinale a opção correta.

A ideia correta para provar que $n^2$ é ímpar quando $n$ é ímpar é:

1. Se $n$ é ímpar, então existe um inteiro $k$ tal que $n=2k+1$.

2. Então $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1.$ Definindo $q=2k^2+2k$, obtemos $n^2=2q+1.$

3. Para concluir que $n^2$ é ímpar, precisamos que $q$ seja inteiro, pois “ser ímpar” significa “ter a forma $2\cdot(\text{inteiro})+1$”. Como $k$ é inteiro, $k^2$ também é inteiro, logo $2k^2$ e $2k$ são inteiros, e a soma $q=2k^2+2k$ é inteiro.

Agora, analisando as asserções do estudante:

• A primeira asserção ((n=2k+1) para algum inteiro (k)) é verdadeira.
• A segunda asserção ((q=2k^2+2k) é um inteiro) também é verdadeira.

Porém, a forma como ele escreveu “PORQUE” está inadequada como justificativa da primeira: o fato de $q$ ser inteiro não justifica que $n$ possa ser escrito como $2k+1$. Na verdade, $q$ só aparece depois de elevar ao quadrado e reorganizar a expressão; ele serve para justificar a conclusão final ($n^2=2q+1$ e, portanto, $n^2$ é ímpar), não para justificar a representação $n=2k+1$.

Assim, ambas são verdadeiras, mas a segunda não justifica corretamente a primeira.

Alternativa correta: (B).