Considere a função f(x) dada por (ver Fórmula 1). É correto afirmar que:

A função é definida por partes:

$$f(x)=\begin{cases} 4x, & 0\le x<1\\ x^{2}-7x+10, & 1\le x\le 6\\ -4x+28, & 6<x\le 7 \end{cases}$$

1) Domínio O domínio é a união dos intervalos onde cada parte está definida:

• $0\le x<1$
• $1\le x\le 6$
• $6<x\le 7$

Isso cobre todos os $x$ de $0$ até $7$, incluindo 0 e 7, e incluindo 6 (pela segunda parte). Logo:

$$D_f=[0,7].$$

Portanto, não é $\mathbb{R}$ (a alternativa A é falsa).

2) Imagem (valores que f(x) assume) Vamos analisar cada trecho.

(i) Para $0\le x<1$: $f(x)=4x$ Quando $x$ vai de $0$ até valores próximos de $1$ (sem atingir 1), $4x$ vai de $0$ até valores próximos de $4$.

$$\operatorname{Im}_1=[0,4).$$

(ii) Para $1\le x\le 6$: $f(x)=x^2-7x+10$ É uma parábola com $a=1>0$ (abre para cima). O vértice ocorre em

$$x_v=\frac{-b}{2a}=\frac{7}{2}=3{,}5.$$

O valor mínimo no intervalo $[1,6]$ será no vértice:

$$f\left(\frac{7}{2}\right)=\left(\frac{7}{2}\right)^2-7\left(\frac{7}{2}\right)+10 =\frac{49}{4}-\frac{49}{2}+10 =\frac{49}{4}-\frac{98}{4}+\frac{40}{4} =-\frac{9}{4}.$$

Agora os valores nas extremidades:

$$f(1)=1-7+10=4,\quad f(6)=36-42+10=4.$$

Como a parábola desce até $-\frac{9}{4}$ e volta a subir, neste trecho a imagem é

$$\operatorname{Im}_2=\left[-\frac{9}{4},\,4\right].$$

(iii) Para $6<x\le 7$: $f(x)=-4x+28$ Em $x=7$, $f(7)=-28+28=0$ (inclui). Quando $x$ se aproxima de 6 pela direita, $f(x)$ se aproxima de $4$, mas não atinge 4 porque $x=6$ não pertence a este trecho.

$$\operatorname{Im}_3=[0,4).$$

Imagem total

$$\operatorname{Im}(f)=\operatorname{Im}_1\cup\operatorname{Im}_2\cup\operatorname{Im}_3 =[0,4)\cup\left[-\frac{9}{4},4\right]\cup[0,4) =\left[-\frac{9}{4},4\right].$$

Isso confirma a alternativa C.

3) Verificação rápida das demais alternativas

• B (bijetora): não é injetiva, pois por exemplo $f(1)=4$ e $f(6)=4$ com $1\ne 6$.
• D (crescente em todo domínio): falso, pois no trecho da parábola ela primeiro decresce (de $x=1$ até $x=3{,}5$) e depois cresce.
• E (decrescente em todo domínio): falso, pois no primeiro trecho $4x$ é crescente.