Sejam a, b ∈ R tais que f(a) = b. Nessa situação, definimos que b é descendente de a e convencionaremos dizer que a é ancestral de b. Seja f: R → R a função definida por: f(x) = 1 - x(1 - √3). Nessa situação, tem-se que 1 é descendente de 0, já que f(0) = 1. Note, também, que 1 é ancestral de √3 uma vez que f(1) = √3. Considerando essas informações, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas: I. Todo número real tem descendente. PORQUE II. A função f é injetora. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:

Temos a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por [ f(x)=1-x(1-\sqrt{3})=1+(\sqrt{3}-1)x. ]

Análise da asserção I: “Todo número real tem descendente.”

• Pela definição, $b$ é descendente de $a$ se $f(a)=b$.
• Como $f$ é uma função definida para todo $a\in\mathbb{R}$, então para qualquer $a$ existe o número real $b=f(a)$.
• Logo, todo real $a$ tem (pelo menos) um descendente: o próprio $f(a)$.

Portanto, I é verdadeira.

Análise da asserção II: “A função $f$ é injetora.”

• $f$ é uma função afim: $f(x)=1+(\sqrt{3}-1)x$.
• Uma função afim é injetora se, e somente se, seu coeficiente angular é diferente de zero.
• Aqui, o coeficiente angular é $\sqrt{3}-1$. Como $\sqrt{3}\neq 1$, então $\sqrt{3}-1\neq 0$.
• Logo, $f$ é injetora.

Portanto, II é verdadeira.

Relação entre I e II:

• A injetividade garante que cada valor de saída tem no máximo um ancestral (isto é, se $f(a)=f(a')$ então $a=a'$).
• Já a afirmação I (“todo real tem descendente”) depende apenas do fato de $f$ estar bem definida em todo $\mathbb{R}$ (isto é, existir $f(a)$ para todo $a$), e não de ser injetora.

Assim, II não justifica I.

Alternativa correta: (B).