Considere a seguinte situação: Em uma clínica médica, foi desenvolvido um aparelho para medir a concentração de uma substância no sangue de uma pessoa. Um técnico em análises clínicas deseja saber se este aparelho está funcionando corretamente e, para isso, usou 15 amostras diferentes de sangue e estabeleceu 15 amostras de concentrações conhecidas (X) e determinou a respectiva concentração através do instrumento (Y), obtendo os valores mostrados na tabela. A partir dessas informações e do conteúdo estudado, calcule o coeficiente de correlação entre as variáveis X e Y.

Queremos o coeficiente de correlação de Pearson:

$r=\frac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sqrt{\sum (x_i-\bar x)^2\;\sum (y_i-\bar y)^2}}.$

Dados (15 pares), conforme a tabela/imagem:

• $X$: 2,2,2, 4,4,4, 6,6,6, 8,8,8, 10,10,10
• $Y$: 2.1,1.8,1.9, 4.5,4.2,4.0, 6.2,6.0,6.5, 8.2,7.8,7.7, 9.6,10.0,10.1

1) Médias

Como $X$ tem 3 repetições de cada valor (2,4,6,8,10): $\bar x=\frac{2+4+6+8+10}{5}=6.$

Para $Y$:

• Soma em $X=2$: $2.1+1.8+1.9=5.8$
• Soma em $X=4$: $4.5+4.2+4.0=12.7$
• Soma em $X=6$: $6.2+6.0+6.5=18.7$
• Soma em $X=8$: $8.2+7.8+7.7=23.7$
• Soma em $X=10$: $9.6+10.0+10.1=29.7$

Total: $5.8+12.7+18.7+23.7+29.7=90.6$. $\bar y=\frac{90.6}{15}=6.04.$

2) Cálculo dos somatórios

Como $X$ é constante em blocos, temos:

• $\sum (x_i-\bar x)^2$:

  Para $x=2$: $(2-6)^2=16$ (3 vezes) → $48$
  Para $x=4$: $(4-6)^2=4$ (3 vezes) → $12$
  Para $x=6$: $(6-6)^2=0$ (3 vezes) → $0$
  Para $x=8$: $(8-6)^2=4$ (3 vezes) → $12$
  Para $x=10$: $(10-6)^2=16$ (3 vezes) → $48$

  Logo: $\sum (x_i-\bar x)^2=48+12+0+12+48=120.$

• $\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)$: calcule por blocos (mesmo $x$):

  Para cada bloco, $\sum (x-\bar x)(y-\bar y)=(x-\bar x)\sum(y-\bar y)$.

  Bloco $x=2$: $x-\bar x=-4$.
  $\sum(y-\bar y)=5.8-3\cdot 6.04=5.8-18.12=-12.32$.
  Produto: $(-4)(-12.32)=49.28$.

  Bloco $x=4$: $x-\bar x=-2$.
  $\sum(y-\bar y)=12.7-18.12=-5.42$.
  Produto: $(-2)(-5.42)=10.84$.

  Bloco $x=6$: $x-\bar x=0$ → contribuição $0$.

  Bloco $x=8$: $x-\bar x=2$.
  $\sum(y-\bar y)=23.7-18.12=5.58$.
  Produto: $(2)(5.58)=11.16$.

  Bloco $x=10$: $x-\bar x=4$.
  $\sum(y-\bar y)=29.7-18.12=11.58$.
  Produto: $(4)(11.58)=46.32$.

  Somando: $\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)=49.28+10.84+0+11.16+46.32=117.60.$

• $\sum (y_i-\bar y)^2$ (calculando termo a termo):

  Para $Y$ em $x=2$:
  $(2.1-6.04)^2=3.94^2=15.5236$
  $(1.8-6.04)^2=4.24^2=17.9776$
  $(1.9-6.04)^2=4.14^2=17.1396$
  Soma: $50.6408$

  Para $x=4$:
  $(4.5-6.04)^2=1.54^2=2.3716$
  $(4.2-6.04)^2=1.84^2=3.3856$
  $(4.0-6.04)^2=2.04^2=4.1616$
  Soma: $9.9188$

  Para $x=6$:
  $(6.2-6.04)^2=0.16^2=0.0256$
  $(6.0-6.04)^2=0.04^2=0.0016$
  $(6.5-6.04)^2=0.46^2=0.2116$
  Soma: $0.2388$

  Para $x=8$:
  $(8.2-6.04)^2=2.16^2=4.6656$
  $(7.8-6.04)^2=1.76^2=3.0976$
  $(7.7-6.04)^2=1.66^2=2.7556$
  Soma: $10.5188$

  Para $x=10$:
  $(9.6-6.04)^2=3.56^2=12.6736$
  $(10.0-6.04)^2=3.96^2=15.6816$
  $(10.1-6.04)^2=4.06^2=16.4836$
  Soma: $44.8388$

  Total: $\sum (y_i-\bar y)^2=50.6408+9.9188+0.2388+10.5188+44.8388=116.156.$

3) Correlação

$r=\frac{117.60}{\sqrt{120\cdot 116.156}}.$

Calculando o denominador: $120\cdot 116.156=13938.72,\quad \sqrt{13938.72}\approx 118.06.$

Então: $r\approx \frac{117.60}{118.06}\approx 0.996.$

Alternativa correta: (C).