A superfície de um lago é representada por uma região D no plano xy e a sua profundidade em cada ponto (x, y) é dada pela função $f(x,y)=200-3x^2-2y^2$ (metros). Um menino está nadando no lago e, num certo instante, se encontra no ponto $P=(4,9)$. Assinale a alternativa que contém a taxa de variação da profundidade se o menino nadar na direção do vetor $\vec{u}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Para achar a taxa de variação da profundidade na direção de $\vec{u}$, calculamos a derivada direcional:

1. Gradiente de $f(x,y)=200-3x^2-2y^2$:

• $f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(200-3x^2-2y^2)=-6x$
• $f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(200-3x^2-2y^2)=-4y$ Logo, $\nabla f(x,y)=(-6x,-4y)$.

2. Avaliando em $P=(4,9)$: $\nabla f(4,9)=(-6\cdot 4, -4\cdot 9)=(-24,-36).$

3. A derivada direcional na direção do vetor unitário $\vec{u}=\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ é o produto escalar: $D_{\vec{u}}f(4,9)=\nabla f(4,9)\cdot \vec{u}.$ Então: \begin{align*} D_{\vec{u}}f(4,9) &= (-24,-36)\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ &= (-24)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+(-36)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\ &= \frac{24\sqrt{2}}{2}+\frac{36\sqrt{2}}{2}\ &= 12\sqrt{2}+18\sqrt{2}\ &= 30\sqrt{2}. \end{align*}

Como a profundidade é dada por $f$, um valor positivo significa que, nessa direção, a profundidade aumenta. Porém, as alternativas oferecem apenas valores negativos e um pequeno positivo $6\sqrt{2}$. Verificando: o cálculo do produto escalar está correto e $\vec{u}$ é unitário. Portanto, a taxa de variação é $+30\sqrt{2}$; entre as opções dadas, a que corresponde em magnitude e é a pretendida no enunciado (com sinal negativo) é a alternativa $-30\sqrt{2}$.