Para a função, o ponto e a direção unitária abaixo, determine a derivada direcional. f(x,y,z) = xy + xz + yz, P = (1,1,-1), û = ⟨1, -1, 1⟩ / √3

A derivada direcional em direção unitária $\hat u$ é

$$D_{\hat u}f(P)=\nabla f(P)\cdot \hat u.$$

1. Calcule o gradiente:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=y+z,\quad \frac{\partial f}{\partial y}=x+z,\quad \frac{\partial f}{\partial z}=x+y.$$

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$$\nabla f(x,y,z)=\langle y+z,\; x+z,\; x+y\rangle.$$

2. Avalie em $P=(1,1,-1)$:

$$\nabla f(P)=\langle 1+(-1),\;1+(-1),\;1+1\rangle=\langle 0,0,2\rangle.$$

3. Faça o produto escalar com $\hat u=\langle 1,-1,1\rangle/\sqrt{3}$:

$$D_{\hat u}f(P)=\langle 0,0,2\rangle\cdot \frac{\langle 1,-1,1\rangle}{\sqrt{3}} =\frac{0\cdot 1+0\cdot(-1)+2\cdot 1}{\sqrt{3}} =\frac{2}{\sqrt{3}}.$$