Considere a função abaixo, definida fora da origem. A derivada parcial em relação a x é: f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}, (x,y) \neq (0,0)

Temos $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}=(x^2+y^2)^{1/2}$, com $(x,y)\neq(0,0)$.

Derivando parcialmente em relação a $x$ (tratando $y$ como constante) e usando a regra da cadeia:

$\displaystyle f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)$.

Como $\frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)=2x$, então:

$\displaystyle f_x(x,y)=\frac{1}{2}(x^2+y^2)^{-1/2}\cdot 2x = x(x^2+y^2)^{-1/2}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}.$