A função abaixo representa um campo escalar em três variáveis. Seu vetor gradiente é:

Questão

A função abaixo representa um campo escalar em três variáveis. Seu vetor gradiente é:

Imagem 1

Fórmula: f(x,y,z)=xy+xz+yzf(x,y,z)=xy+xz+yz

Alternativas

Resposta certa

a) ∇f = (y + z, x + z, x + y)

b) ∇f = (x + y, x + z, y + z)

c) ∇f = (yz, xz, xy)

d) ∇f = (y, z, x)

Explicação

Dada f(x,y,z)=xy+xz+yzf(x,y,z)=xy+xz+yz, o gradiente é \n∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z).\n\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right).

  1. Derivada parcial em relação a xx:
  • ∂∂x(xy)=y\frac{\partial}{\partial x}(xy)=y
  • ∂∂x(xz)=z\frac{\partial}{\partial x}(xz)=z
  • ∂∂x(yz)=0\frac{\partial}{\partial x}(yz)=0 Logo, ∂f∂x=y+z\frac{\partial f}{\partial x}=y+z.
  1. Derivada parcial em relação a yy:
  • ∂∂y(xy)=x\frac{\partial}{\partial y}(xy)=x
  • ∂∂y(xz)=0\frac{\partial}{\partial y}(xz)=0
  • ∂∂y(yz)=z\frac{\partial}{\partial y}(yz)=z Logo, ∂f∂y=x+z\frac{\partial f}{\partial y}=x+z.
  1. Derivada parcial em relação a zz:
  • ∂∂z(xy)=0\frac{\partial}{\partial z}(xy)=0
  • ∂∂z(xz)=x\frac{\partial}{\partial z}(xz)=x
  • ∂∂z(yz)=y\frac{\partial}{\partial z}(yz)=y Logo, ∂f∂z=x+y\frac{\partial f}{\partial z}=x+y.

Portanto, \n∇f=(y+z,  x+z,  x+y).\n\nabla f = (y+z,\; x+z,\; x+y).

calculoderivadas-parciaisgradiente
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