Em um modelo de concentração, um sensor está no ponto (0,0) e se desloca na direção que forma 45 graus com o eixo x. A derivada direcional de C nesse ponto é: C(x,y) = e^{x+y}

Queremos a derivada direcional de $C(x,y)=e^{x+y}$ no ponto $(0,0)$ na direção que faz $45^\circ$ com o eixo $x$.

1. Vetor unitário da direção Uma direção que forma $45^\circ$ com o eixo $x$ tem vetor unitário $\mathbf{u}=(\cos 45^\circ,\sin 45^\circ)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$

2. Gradiente de $C$ $\nabla C=(C_x, C_y).$ Como $C(x,y)=e^{x+y}$, $C_x=e^{x+y},\quad C_y=e^{x+y}.$ Logo, $\nabla C(x,y)=(e^{x+y},e^{x+y}).$ No ponto $(0,0)$: $\nabla C(0,0)=(e^0,e^0)=(1,1).$

3. Derivada direcional A derivada direcional é o produto escalar: $D_{\mathbf{u}}C(0,0)=\nabla C(0,0)\cdot \mathbf{u}=(1,1)\cdot\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right).$ Então: $D_{\mathbf{u}}C(0,0)=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.$