Considere a função trigonométrica abaixo. Qual é a derivada parcial de segunda ordem em relação a y?

Temos $f(x,y)=\sin(2x+y)$.

1. Primeira derivada parcial em relação a $y$:

Pela regra da cadeia, como $\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=1$,

$$f_y = \cos(2x+y)\cdot 1 = \cos(2x+y).$$

2. Segunda derivada parcial em relação a $y$:

Derivando novamente em relação a $y$:

$$f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\big(\cos(2x+y)\big)= -\sin(2x+y)\cdot \frac{\partial}{\partial y}(2x+y).$$

Como $\frac{\partial}{\partial y}(2x+y)=1$, fica:

$$f_{yy} = -\sin(2x+y).$$