Seja f: ℝ → ℝ uma função satisfazendo x+2 ≤ f(x) ≤ x^2+3x+3. Nessas condições, qual das alternativas a seguir apresenta o limite da função f(x) para x tendendo a -1?

Temos a função limitada por duas funções:

$\quad x+2 \le f(x) \le x^2+3x+3.$

Vamos calcular o limite das funções “extremas” quando $x \to -1$:

1. Limite do limitante inferior:

$$\lim_{x\to -1}(x+2)= -1+2 = 1.$$

2. Limite do limitante superior:

$$\lim_{x\to -1}(x^2+3x+3)=(-1)^2+3(-1)+3=1-3+3=1.$$

Como

$$\lim_{x\to -1}(x+2)=\lim_{x\to -1}(x^2+3x+3)=1,$$

E para todo $x$ vale $x+2 \le f(x) \le x^2+3x+3$, então pelo Teorema do Confronto (Sanduíche):

$$\lim_{x\to -1} f(x)=1.$$