Para a função abaixo, determine a derivada parcial de segunda ordem em relação a x. f(x,y) = x^3 y + x^2 y^4

Queremos a derivada parcial de segunda ordem em relação a $x$, isto é, $f_{xx} = \dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, tratando $y$ como constante.

Função: $f(x,y)=x^{3}y + x^{2}y^{4}$

1) Primeira derivada parcial em relação a $x$:

• $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^3y)=y\cdot 3x^2=3x^2y$
• $\dfrac{\partial}{\partial x}(x^2y^4)=y^4\cdot 2x=2xy^4$

Logo, $f_x(x,y)=3x^2y + 2xy^4$

2) Segunda derivada parcial em relação a $x$: Derivando $f_x$ novamente em relação a $x$:

• $\dfrac{\partial}{\partial x}(3x^2y)=3y\cdot 2x=6xy$
• $\dfrac{\partial}{\partial x}(2xy^4)=2y^4$

Assim, $f_{xx}(x,y)=6xy + 2y^4$