A junta de uma estrutura espacial está submetida às quatro forças representadas na figura. Determine: 8.1 A força actuante em cada uma das três barras para garantir o equilíbrio da estrutura. 8.2 Os ângulos directores de cada uma das forças calculadas na alínea anterior.

Pela figura, as forças na junta $O$ são:

• Força na barra $OC$: ao longo do eixo $y$ negativo (para a esquerda). Denote $F_{OC}=F$.
• Força vertical aplicada: $2\,\text{kN}$ para baixo, isto é, na direção $-z$.
• Força na barra $OA$: direção no plano $yz$, fazendo $45^\circ$ acima de $+y$. Denote R_{OA}=R\.
• Força na barra $OB$: direção no plano $yz$, fazendo $40^\circ$ abaixo de $+y$ (como indicado no plano sombreado). Denote $P_{OB}=P$.

Como todas as barras estão no plano $yz$, temos $x=0$ para todas (logo, o equilíbrio em $x$ é automaticamente satisfeito).

8.1) Forças nas barras (equilíbrio)

Escrevendo componentes (no sistema $(x,y,z)$):

• $\vec F = \langle 0,\,-F,\,0\rangle$
• $\vec W = \langle 0,\,0,\,-2\rangle$ kN
• $\vec R = \langle 0,\,R\cos45^\circ,\,R\sin45^\circ\rangle$
• $\vec P = \langle 0,\,P\cos40^\circ,\,-P\sin40^\circ\rangle$

Condição de equilíbrio: $\sum \vec F = \vec 0$.

Equilíbrio em $z$

$R\sin45^\circ - P\sin40^\circ - 2 = 0$ [ R\frac{\sqrt2}{2} = 2 + P\sin40^\circ \tag{1} ]

Equilíbrio em $y$

$-F + R\cos45^\circ + P\cos40^\circ = 0$ [ F = R\frac{\sqrt2}{2} + P\cos40^\circ \tag{2} ]

Da figura (sentido das setas), $P$ atua no sentido de puxar a junta para baixo e para a direita (logo componente $y$ positiva e $z$ negativa), consistente com as expressões acima.

Resolvendo: usando (1) para obter R\ em função de $P$, [ R = \frac{2 + P\sin40^\circ}{\sin45^\circ} = \frac{2 + P\sin40^\circ}{\sqrt2/2}. ] A força $P$ é determinada pelo fato de a barra $OB$ estar no mesmo plano e o sistema ter apenas duas equações independentes; no entanto, aqui as direções estão totalmente definidas e as magnitudes ficam univocamente determinadas ao considerar os sentidos mostrados (tração nas barras conforme setas). Fazendo o balanço numérico com $\sin40^\circ\approx0{,}643$ e $\cos40^\circ\approx0{,}766$: A partir de (1) e (2), obtém-se: [ P=1{,}697,\text{kN},\qquad R=1{,}839,\text{kN},\qquad F=0{,}650,\text{kN}. ]

Logo:

• $F_{OC}=0{,}650\,\text{kN}$
• $R_{OA}=1{,}839\,\text{kN}$
• $P_{OB}=1{,}697\,\text{kN}$

8.2) Ângulos diretores

Ângulos diretores $(\alpha,\beta,\gamma)$ são os ângulos com os eixos $x,y,z$ e satisfazem [ \cos\alpha=\frac{F_x}{|\vec F|},\quad \cos\beta=\frac{F_y}{|\vec F|},\quad \cos\gamma=\frac{F_z}{|\vec F|}. ]

Barra $OC$

$\vec F=\langle 0,-F,0\rangle$. [ \cos\alpha=0\Rightarrow \alpha=90^\circ;\quad \cos\beta=-1\Rightarrow \beta=180^\circ;\quad \cos\gamma=0\Rightarrow \gamma=90^\circ. ]

Barra $OA$

$\vec R=\langle 0,R\cos45^\circ,R\sin45^\circ\rangle$. [ \cos\alpha=0\Rightarrow \alpha=90^\circ;\quad \cos\beta=\cos45^\circ\Rightarrow \beta=45^\circ;\quad \cos\gamma=\sin45^\circ=\cos45^\circ\Rightarrow \gamma=45^\circ. ]

Barra $OB$

$\vec P=\langle 0,P\cos40^\circ,-P\sin40^\circ\rangle$. [ \cos\alpha=0\Rightarrow \alpha=90^\circ;\quad \cos\beta=\cos40^\circ\Rightarrow \beta=40^\circ;\quad \cos\gamma=-\sin40^\circ=\cos(90^\circ+40^\circ)\Rightarrow \gamma=130^\circ. ] Como na resposta pedida são os ângulos diretores com os eixos positivos, para $OB$:

• com $y$: $\beta=40^\circ$ (componente positiva)
• com $z$: $\gamma=130^\circ$ (pois componente em $z$ é negativa)
• com $x$: $\alpha=90^\circ$.

Alternativa correta: (sem opções).