Calcule o valor de cada expressão. Para isso, aplique as propriedades mostradas no texto teórico.

Vamos usar as propriedades:

• $\sqrt[n]{a}\,\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$ (mesmo índice)
• $\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}$ (mesmo índice)
• Reescrever como potência: $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$

a) $\sqrt[2]{5}\cdot\sqrt[3]{20}$

MMC dos índices $2$ e $3$ é $6$.

$\sqrt{5}=5^{1/2}=5^{3/6}=\sqrt[6]{5^3}=\sqrt[6]{125}$

$\sqrt[3]{20}=20^{1/3}=20^{2/6}=\sqrt[6]{20^2}=\sqrt[6]{400}$

Então: $\sqrt[6]{125}\cdot\sqrt[6]{400}=\sqrt[6]{125\cdot 400}=\sqrt[6]{50000}$

Fatorando $50000$ como potência sexta perfeita: $50000=64\cdot 781{,}25$ não ajuda bem; melhor fatorar em primos: $50000=5^3\cdot 2^4\cdot 5^4?\,$ (vamos direto: $50000=50\cdot 1000=2\cdot 5^2\cdot 2^3\cdot 5^3=2^4\cdot 5^5$)

Logo: $\sqrt[6]{2^4\cdot 5^5}=\sqrt[6]{(2^6)\cdot \dfrac{5^5}{2^2}}$ também não extrai inteiro.

Uma forma mais simples é extrair o quadrado de $20$ antes: $\sqrt[3]{20}=\sqrt[3]{8\cdot 2}=2\sqrt[3]{2}$.

Assim: $\sqrt{5}\cdot \sqrt[3]{20}=\sqrt{5}\cdot 2\sqrt[3]{2}=2\,(5^{1/2})(2^{1/3})=2\,(5^{3/6})(2^{2/6})=2\sqrt[6]{5^3\cdot 2^2}=2\sqrt[6]{125\cdot 4}=2\sqrt[6]{500}$.

Portanto, a) $=2\sqrt[6]{500}$, e como $500=2^2\cdot 5^3$ não tem potência sexta perfeita para simplificar mais, fica: $\boxed{2\sqrt[6]{500}}$.

b) $\dfrac{\sqrt[3]{54}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\dfrac{54}{2}}=\sqrt[3]{27}=3$.

c) $\sqrt{27}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{27\cdot 3}=\sqrt{81}=9$.

d) $\dfrac{\sqrt[5]{128}}{\sqrt[5]{4}}=\sqrt[5]{\dfrac{128}{4}}=\sqrt[5]{32}=\sqrt[5]{2^5}=2$.

Alternativa correta: (sem alternativas).