Matemática: Calcule a soma dos n primeiros termos da sequência (1,4; 6,7; 11,10; 16,13; ...).

A sequência dada é: $1{,}4;\ 6{,}7;\ 11{,}10;\ 16{,}13;\ldots$

Note que ela intercala dois padrões:

• As posições ímpares: $1{,}4;\ 11{,}10;\ \ldots$ (cresce de $9{,}6$ em $9{,}6$)
• As posições pares: $6{,}7;\ 16{,}13;\ \ldots$ (cresce de $9{,}6$ em $9{,}6$)

Isso sugere uma progressão aritmética (PA) com razão constante. Vamos confirmar pela diferença entre termos consecutivos:

$6{,}7-1{,}4=5{,}3$; $11{,}10-6{,}7=4{,}4$; $16{,}13-11{,}10=5{,}03$.

Como a escrita com vírgula pode indicar números decimais, a forma mais consistente é interpretar os termos como pares ordenados (muito comum em enunciados com vírgula/ ponto e vírgula):

$(1,4),\ (6,7),\ (11,10),\ (16,13),\ldots$

Ou seja, cada termo é um par $(x_n,y_n)$.

Então:

• $x_n$: $1,6,11,16,\ldots$ é uma PA de razão $5$.

  Logo, $x_n=1+(n-1)\cdot 5=5n-4$.

• $y_n$: $4,7,10,13,\ldots$ é uma PA de razão $3$.

  Logo, $y_n=4+(n-1)\cdot 3=3n+1$.

A “soma dos $n$ primeiros termos” da sequência de pares costuma significar somar os valores numéricos obtidos por $x_n+y_n$ em cada termo, isto é, considerar a sequência $a_n=x_n+y_n$.

Assim: $a_n=(5n-4)+(3n+1)=8n-3$.

Agora $a_n$ é uma PA com $a_1=8\cdot1-3=5$ e razão $r=8$.

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é:

$S_n=\dfrac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)r\right)$.

Substituindo $a_1=5$ e $r=8$:

$S_n=\dfrac{n}{2}\left(2\cdot 5+(n-1)\cdot 8\right) =\dfrac{n}{2}\left(10+8n-8\right) =\dfrac{n}{2}(8n+2) = n(4n+1)$.

Porém, se a intenção do enunciado for somar separadamente as coordenadas (somatório vetorial), então:

$\sum_{k=1}^n (x_k,y_k)=\left(\sum_{k=1}^n x_k,\sum_{k=1}^n y_k\right)$.

Calculando:

$\sum_{k=1}^n x_k=\dfrac{n}{2}(x_1+x_n)=\dfrac{n}{2}(1+(5n-4))=\dfrac{n(5n-3)}{2}$.

$\sum_{k=1}^n y_k=\dfrac{n}{2}(y_1+y_n)=\dfrac{n}{2}(4+(3n+1))=\dfrac{n(3n+5)}{2}$.

Somando essas duas somas (caso peçam a soma “total” das componentes):

$S_n=\sum x_k+\sum y_k=\dfrac{n(5n-3)}{2}+\dfrac{n(3n+5)}{2}=\dfrac{n(8n+2)}{2}=n(4n+1)$.

Como resultado final numérico (mais usual), fica: $S_n=n(4n+1)=\dfrac{n(8n+2)}{2}=\dfrac{n(10n-3)}{2}$ (forma equivalente por simplificação algébrica conforme a interpretação adotada do termo).