Considere os dados da tabela abaixo. Faça ajuste para uma função exponencial e determine o valor para x = 2,5.

Vamos ajustar uma exponencial do tipo

$$y = a\,e^{bx}$$

Linearizando:

$$\ln y = \ln a + bx$$

Então fazemos uma regressão linear de $Y=\ln y$ em função de $x$, usando todos os pontos da tabela.

Dados (com $Y_i=\ln y_i$):

• $x=0$, $y=8{,}03$ $\Rightarrow Y=\ln(8{,}03)=2{,}0832$
• $x=1$, $y=3{,}01$ $\Rightarrow Y=1{,}1019$
• $x=2$, $y=1{,}10$ $\Rightarrow Y=0{,}0953$
• $x=3$, $y=0{,}40$ $\Rightarrow Y=-0{,}9163$
• $x=4$, $y=0{,}15$ $\Rightarrow Y=-1{,}8971$
• $x=5$, $y=0{,}05$ $\Rightarrow Y=-2{,}9957$

Com $n=6$, $\sum x=15$, $\sum x^2=55$, $\sum Y\approx -2{,}5287$, $\sum xY\approx -22{,}5431$:

Coeficiente angular:

$$b=\frac{n\sum xY-(\sum x)(\sum Y)}{n\sum x^2-(\sum x)^2} =\frac{6(-22{,}5431)-15(-2{,}5287)}{6\cdot 55-15^2} \approx -1{,}0166$$

Intercepto:

$$\ln a = \bar Y - b\bar x =\frac{-2{,}5287}{6}-(-1{,}0166)\frac{15}{6} \approx 2{,}1207$$

Logo

$$a=e^{2{,}1207}\approx 8{,}337, \quad y\approx 8{,}337\,e^{-1{,}0166x}.$$

Para $x=2{,}5$:

$$y(2{,}5)=8{,}337\,e^{-1{,}0166\cdot 2{,}5} =8{,}337\,e^{-2{,}5415} \approx 8{,}337\cdot 0{,}0787 \approx 0{,}656.$$