Uma torre de resfriamento no formato de um hiperboloide na direção do eixo z tem 20 metros de raio na parte central e 50 metros do centro ao solo, conforme a figura a seguir. Considerando que o centro da torre está na origem do sistema de eixos coordenados, obtenha a equação reduzida do hiperboloide associado à torre.

Como a torre tem formato de hiperboloide de uma folha com eixo na direção de $z$, sua equação reduzida (centrada na origem) é

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}-\frac{z^2}{c^2}=1.$

1) Raio na parte central A “parte central” é a seção em $z=0$ (cintura do hiperboloide). Nessa altura, a equação vira:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1 \;\Rightarrow\; x^2+y^2=a^2.$

Logo o raio da circunferência central é $a$. Dado raio central $20\,\text{m}$:

$a=20 \Rightarrow a^2=400.$

2) Distância do centro ao solo O solo está a $50\,\text{m}$ do centro, então corresponde ao plano $z=-50$ (ou $z=50$; dá o mesmo por simetria).

Entre as alternativas, a única que usa corretamente $a^2=400$ e associa a medida $50$ ao parâmetro do termo em $z$ como $c^2=50^2=2500$ é:

$\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{400}-\frac{z^2}{2500}=1.$

Alternativa correta: (A).