Qual é a respectiva equação reduzida?

Questão

A figura a seguir representa uma hipérbole com ramos à esquerda e à direita. Qual é a respectiva equação reduzida?

Imagem 1

Ponto no centro marcado como C(2,2); distância horizontal total indicada 8; distância vertical total indicada 5.

A) \frac{(x+2)^2}{16} - \frac{(y+2)^2}{6,25} = 1

B) \frac{(x+2)^2}{4} - \frac{(y+2)^2}{2,5} = 1

C) \frac{(x-2)^2}{16} - \frac{(y-2)^2}{6,25} = 1

97%

D) \frac{(x-2)^2}{4} - \frac{(y-2)^2}{2,5} = 1

Como a hipérbole tem ramos à esquerda e à direita, sua forma reduzida é

$\displaystyle \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1$ ,

onde $(h,k)$ é o centro.

Pelo gráfico, o centro é $C(2,2)$ , então $h=2$ e $k=2$ .
A medida horizontal total do retângulo auxiliar é $8$ , logo $2a=8 \Rightarrow a=4 \Rightarrow a^2=16$ .
A medida vertical total é $5$ , logo $2b=5 \Rightarrow b=2{,}5 \Rightarrow b^2=6{,}25$ .

Substituindo:

$\displaystyle \frac{(x-2)^2}{16}-\frac{(y-2)^2}{6{,}25}=1.$

Alternativa correta: C.