Determinar a área limitada pela curva y = 4x - x^2 e pelo eixo x.

Para achar a área limitada pela curva $y=4x-x^2$ e o eixo $x$, primeiro determinamos os pontos onde a curva cruza o eixo $x$ (isto é, onde $y=0$):

1. Zeros da função: [ 4x-x^2=0 ;\Rightarrow; x(4-x)=0 ;\Rightarrow; x=0 \text{ ou } x=4. ] No intervalo $[0,4]$, a parábola está acima do eixo $x$, então a área pedida é a integral definida:

2. Área: [ A=\int_{0}^{4} (4x-x^2),dx. ] Calculando: [ \int (4x-x^2),dx = 2x^2-\frac{x^3}{3}. ] Aplicando os limites: [ A=\left[2x^2-\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{4} =\left(2\cdot16-\frac{64}{3}\right)-0 =32-\frac{64}{3} =\frac{96}{3}-\frac{64}{3} =\frac{32}{3}. ] Logo, a área é $\frac{32}{3}$ unidades de área.

Alternativa correta: (A).