A opção em que a classe gramatical do “que” difere das demais é:

Vamos identificar a classe gramatical de “que” em cada alternativa.

a) “Houve um tempo em minha vida em que o meu quintal era o meu mundo.”

• “em que” retoma tempo e introduz uma oração que caracteriza esse termo.
• Portanto, “que” = pronome relativo (equivale a “no qual”).

b) “...com as árvores que abrigavam os seus ninhos...”

• “que” retoma árvores e introduz oração adjetiva.
• Portanto, “que” = pronome relativo.

c) “...dava com um fogão de lenha que estava sempre aceso...”

• “que” retoma fogão de lenha e introduz oração adjetiva.
• Portanto, “que” = pronome relativo.

d) “...eu tive que voar, sair do meu quintal...”

• Aqui “ter que” é uma locução verbal de obrigação (“tive de voar”).
• Nesse uso, “que” não retoma termo anterior, nem introduz oração adjetiva; funciona como elemento integrante da locução, com valor de preposição/conectivo exigido pelo verbo “ter”.

Logo, a única em que a classe/funcão gramatical de “que” difere das demais é a (d).

Alternativa correta: (d).