Qual dos seguintes subconjuntos de M_2(ℝ) é um subanel?

Para ser subanel de $M_2(\mathbb R)$ (com as operações usuais), um subconjunto deve ser fechado por adição, conter o oposto aditivo (ou seja, ser subgrupo aditivo), e ser fechado por multiplicação.

Vamos testar cada opção pela fechadura (principalmente na multiplicação) e pela adição.

(a) Matrizes do tipo $\begin{pmatrix}a&b\\ c&0\end{pmatrix}$.

• Soma e oposto: ok (a entrada (2,2) continua 0).
• Multiplicação: tome $A=\begin{pmatrix}a&b\\ c&0\end{pmatrix}$ e $B=\begin{pmatrix}a'&b'\\ c'&0\end{pmatrix}$. Então [ AB=\begin{pmatrix} aa'+bc' & ab'\ ca' & cb' \end{pmatrix}. ] A entrada (2,2) vira $cb'$, que não é necessariamente 0. Logo não é fechado na multiplicação. Não é subanel.

(b) Matrizes do tipo $\begin{pmatrix}a&1\\ 0&b\end{pmatrix}$.

• Soma: [ \begin{pmatrix}a&1\0&b\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a'&1\0&b'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+a'&2\0&b+b'\end{pmatrix}, ] mas a entrada (1,2) vira 2, e deveria ser 1. Não é fechado na adição, então não é subanel.

(c) Matrizes do tipo $\begin{pmatrix}a&b\\ 0&0\end{pmatrix}$.

• Soma e oposto: ok.
• Multiplicação: [ \begin{pmatrix}a&b\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a'&b'\0&0\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}aa'&ab'\0&0\end{pmatrix}, ] que ainda tem a forma $\begin{pmatrix}\ast&\ast\\0&0\end{pmatrix}$. Fechado. Então, (c) é subanel.

(d) Matrizes diagonais $\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}$.

• Soma e oposto: permanecem diagonais.
• Multiplicação: [ \begin{pmatrix}a&0\0&b\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a'&0\0&b'\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}aa'&0\0&bb'\end{pmatrix}, ] permanece diagonal. Fechado. Então, (d) é subanel.

(e) Matrizes $\begin{pmatrix}a&b\\c&1\end{pmatrix}$.

• Soma: [ \begin{pmatrix}a&b\c&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a'&b'\c'&1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a+a'&b+b'\c+c'&2\end{pmatrix}, ] mas a entrada (2,2) vira 2, e deveria ser 1. Não é fechado na adição, então não é subanel.

Conclusão: (c) e (d) são subanéis. Como a questão pede “qual dos seguintes” e há alternativa única, a opção mais padrão e certamente subanel (inclusive com a mesma identidade multiplicativa do subanel, $I$ pertence ao conjunto) é a dos diagonais.

Alternativa correta: (d).