Seja P(E) o conjunto das partes de um conjunto não vazio E. Define-se em P(E) a operação de soma pela diferença simétrica A Δ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) e a multiplicação pela interseção usual A ∩ B. Sobre a estrutura (P(E), Δ, ∩), é correto afirmar que:

Queremos analisar a estrutura $(\mathcal P(E),\Delta,\cap)$, onde a “soma” é a diferença simétrica e a “multiplicação” é a interseção.

1) Propriedades da soma $\Delta$

• Fechamento: se $A,B\subseteq E$, então $A\Delta B\subseteq E$, logo está em $\mathcal P(E)$.
• Elemento neutro: [ A\Delta\varnothing=(A\cup\varnothing)\setminus(A\cap\varnothing)=A\setminus\varnothing=A. ] Então o neutro aditivo é $\varnothing$.
• Inverso aditivo: [ A\Delta A=(A\cup A)\setminus(A\cap A)=A\setminus A=\varnothing. ] Logo cada elemento é seu próprio inverso (não é $E$, e sim $\varnothing$).
• Comutatividade e associatividade: a diferença simétrica é comutativa e associativa (pode-se ver também pela interpretação como soma módulo 2 de funções indicadoras). Assim, $(\mathcal P(E),\Delta)$ é um grupo abeliano.

2) Propriedades da multiplicação $\cap$

• Fechamento: $A\cap B\subseteq E$.
• Associatividade e comutatividade: interseção é associativa e comutativa.
• Elemento unidade multiplicativa: [ A\cap E = A. ] Portanto, a unidade é $E$.

3) Distributividade A interseção distribui sobre a diferença simétrica: [ A\cap(B\Delta C)=(A\cap B)\Delta(A\cap C). ] Isso decorre de propriedades de conjuntos (ou novamente pelas funções indicadoras em $\{0,1\}$ com operações módulo 2).

Conclusão: $(\mathcal P(E),\Delta,\cap)$ forma um anel comutativo com unidade $E$ e com neutro aditivo $\varnothing$.

Analisando as alternativas:

• (a) falsa, pois $A\Delta A=\varnothing$, não $E$.
• (b) falsa, pois $\Delta$ é associativa.
• (c) verdadeira.
• (d) falsa: em relação a $\cap$, só conjuntos iguais a $E$ seriam “invertíveis” (e mesmo assim, em geral não há inverso para um $A\neq E$).
• (e) falsa: o anel é comutativo e o neutro da soma é $\varnothing$, não $E$.

Alternativa correta: (c).