Considere a função f: C → M_2(ℝ), f(a + bi) = (a -b; b a). Qual afirmação é correta?

A função é [ f:\mathbb{C}\to M_2(\mathbb{R}),\quad f(a+bi)=\begin{pmatrix}a&-b\ b&a\end{pmatrix}. ]

1) Preserva a soma (homomorfismo aditivo). Se $z_1=a+bi$ e $z_2=c+di$, então [ f(z_1+z_2)=f\big((a+c)+(b+d)i\big)=\begin{pmatrix}a+c&-(b+d)\ b+d&a+c\end{pmatrix} ] e [ f(z_1)+f(z_2)=\begin{pmatrix}a&-b\ b&a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}c&-d\ d&c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a+c&-(b+d)\ b+d&a+c\end{pmatrix}. ] Logo, $f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2)$.

2) Preserva o produto (homomorfismo multiplicativo). Temos $z_1z_2=(ac-bd)+(ad+bc)i$. Então [ f(z_1z_2)=\begin{pmatrix}ac-bd&-(ad+bc)\ ad+bc&ac-bd\end{pmatrix}. ] Por outro lado, [ f(z_1)f(z_2)=\begin{pmatrix}a&-b\ b&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c&-d\ d&c\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}ac-bd&-(ad+bc)\ ad+bc&ac-bd\end{pmatrix}. ] Assim, $f(z_1z_2)=f(z_1)f(z_2)$.

3) É injetiva (logo, monomorfismo). Se $f(a+bi)=0$ (matriz nula), então suas entradas dão $a=0$ e $b=0$, portanto $a+bi=0$. Logo, o núcleo é trivial e $f$ é injetiva.

4) Não é sobrejetiva em $M_2(\mathbb{R})$. A imagem de $f$ é o conjunto de matrizes da forma (\begin{pmatrix}a&-b\ b&a\end{pmatrix}), que é um subconjunto próprio de $M_2(\mathbb{R})$ (por exemplo, (\begin{pmatrix}1&0\ 0&2\end{pmatrix}) não está nessa forma). Então não é epimorfismo nem isomorfismo para $M_2(\mathbb{R})$.

Conclusão: $f$ é um homomorfismo de anéis injetivo, isto é, um monomorfismo de anéis.

Alternativa correta: (c).