Sejam B1 e B2 dois subanéis de um anel A. Considere as afirmações: I. A intersecção B1 ∩ B2 é sempre um subanel de A. II. A união B1 ∪ B2 é sempre um subanel de A. III. O centro de A, definido por Z(A) = { x ∈ A | xa = ax, ∀ a ∈ A }, é um subanel de A. Está(ão) correta(s) APENAS a(s) afirmação(ões): [OBSERVAÇÃO: Esta questão está com uma alternativa duplicada. Se acharem que a resposta correta é ela, assinale qualquer um dos itens duplicados]

Vamos analisar cada afirmação.

I. $B_1\cap B_2$ é subanel de $A$.

• Como $B_1$ e $B_2$ são subanéis, ambos são fechados para $+$, $-$ e $\cdot$ (e contêm os elementos exigidos pela definição adotada de subanel).
• Se $x,y\in B_1\cap B_2$, então $x,y\in B_1$ e $x,y\in B_2$.
• Logo $x+y,\, -x,\, xy$ pertencem a $B_1$ e também a $B_2$, portanto pertencem à intersecção. Conclui-se que I é verdadeira.

II. $B_1\cup B_2$ é sempre subanel de $A$. Isso é falso em geral: a união pode não ser fechada para soma.

• Exemplo típico: em $A=\mathbb{Z}$, tome $B_1=2\mathbb{Z}$ (pares) e $B_2=3\mathbb{Z}$ (múltiplos de 3). Então $2\in B_1$ e $3\in B_2$, mas $2+3=5\notin 2\mathbb{Z}\cup 3\mathbb{Z}$. Logo II é falsa.

III. O centro $Z(A)=\{x\in A\mid xa=ax,\ \forall a\in A\}$ é subanel de $A$.

• Se $x,y\in Z(A)$ e $a\in A$, então [(x+y)a=xa+ya=ax+ay=a(x+y),] logo $x+y\in Z(A)$.
• Também $(-x)a=-(xa)=-(ax)=a(-x)$, então $-x\in Z(A)$.
• E $(xy)a=x(ya)=x(ay)=(xa)y=(ax)y=a(xy)$, então $xy\in Z(A)$. Portanto III é verdadeira.

Assim, estão corretas apenas I e III.

Alternativa correta: (c).