Contexto nas Ciências Agrárias: Projeto de Cercamento: Cálculo da Reta e Perímetro de um Terreno. Você foi contratado para elaborar um projeto de cercas em um terreno irregular. Para simplificar, o terreno será dividido em 4 cercas retas, cada uma definida por dois pontos no plano cartesiano (x, y). Sua tarefa é calcular a equação da reta de cada cerca e, posteriormente, determinar o perímetro total do terreno, garantindo precisão no planejamento e na execução do projeto. Dados fornecidos: As coordenadas dos pontos que definem as 4 cercas são: 1. Cerca 1: Ponto inicial (2, 3) e ponto final (5, 7). 2. Cerca 2: Ponto inicial (5, 7) e ponto final (9, 4). 3. Cerca 3: Ponto inicial (9, 4) e ponto final (7, 1). 4. Cerca 4: Ponto inicial (7, 1) e ponto final (2, 3). Considerando a importância do seu trabalho para o sucesso do projeto, quais alternativas apontam corretamente, em sequência, a equação da reta das cercas (1, 2, 3 e 4) e o perímetro total do terreno, em unidades de comprimento (u.c.)? Dicas: 1 - Utilize a teoria da construção de retas através de dois pontos no plano cartesiano para obter as equações das retas de cada cerca. 2 - Utilize a distância entre dois pontos no plano cartesiano para calcular o tamanho de cada cerca. 3 - O perímetro corresponde ao tamanho total das cercas (somar todos os tamanhos das cercas). Utilize casas decimais nas respostas.

Vamos obter, em sequência, as equações das retas (forma $y=mx+b$) e depois o perímetro somando os comprimentos das 4 cercas.

1) Equações das retas

Para dois pontos $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$, o coeficiente angular é $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$ Depois, encontramos $b$ por $b=y-mx$ usando um dos pontos.

Cerca 1: (2,3) a (5,7)

$m_1=\frac{7-3}{5-2}=\frac{4}{3}.$ Usando $(2,3)$: $b_1=3-\frac{4}{3}\cdot 2=3-\frac{8}{3}=\frac{1}{3}.$ Logo, $\boxed{y=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}}.$

Cerca 2: (5,7) a (9,4)

$m_2=\frac{4-7}{9-5}=\frac{-3}{4}=-\frac{3}{4}.$ Usando $(5,7)$: $b_2=7-\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot 5=7+\frac{15}{4}=\frac{43}{4}.$ Logo, $\boxed{y=-\frac{3}{4}x+\frac{43}{4}}.$

Cerca 3: (9,4) a (7,1)

$m_3=\frac{1-4}{7-9}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}.$ Usando $(9,4)$: $b_3=4-\frac{3}{2}\cdot 9=4-\frac{27}{2}=\frac{8}{2}-\frac{27}{2}=-\frac{19}{2}.$ Logo, $\boxed{y=\frac{3}{2}x-\frac{19}{2}}.$

Cerca 4: (7,1) a (2,3)

$m_4=\frac{3-1}{2-7}=\frac{2}{-5}=-\frac{2}{5}.$ Usando $(7,1)$: $b_4=1-\left(-\frac{2}{5}\right)\cdot 7=1+\frac{14}{5}=\frac{19}{5}.$ Logo, $\boxed{y=-\frac{2}{5}x+\frac{19}{5}}.$

2) Comprimento de cada cerca e perímetro

Distância entre dois pontos: $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$

• Cerca 1: $(2,3)$ a $(5,7)$ $d_1=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$

• Cerca 2: $(5,7)$ a $(9,4)$ $d_2=\sqrt{(9-5)^2+(4-7)^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=\sqrt{25}=5.$

• Cerca 3: $(9,4)$ a $(7,1)$ $d_3=\sqrt{(7-9)^2+(1-4)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}=\sqrt{13}\approx 3{,}6055.$

• Cerca 4: $(7,1)$ a $(2,3)$ $d_4=\sqrt{(2-7)^2+(3-1)^2}=\sqrt{(-5)^2+2^2}=\sqrt{29}\approx 5{,}3852.$

Perímetro: $P=d_1+d_2+d_3+d_4=5+5+\sqrt{13}+\sqrt{29}\approx 10+3{,}6055+5{,}3852=18{,}9907\approx 18{,}99.$

Portanto, as equações listadas batem, mas o perímetro correto é aproximadamente $18{,}99$ u.c., e não $17{,}07$ u.c.

Alternativa correta: (D).