A proposição composta "Se a vistoria de um carro não é aprovada, então o carro tem pendências ou os pneus do carro estão carecas." é logicamente equivalente à proposição composta "Se a vistoria de um carro não é aprovada e os pneus do carro não estão carecas, então o carro tem pendências"?

Defina as proposições simples:

• $A$: “a vistoria do carro é aprovada”.
• $P$: “o carro tem pendências”.
• $C$: “os pneus do carro estão carecas”.

A 1ª proposição é:

“Se a vistoria não é aprovada, então o carro tem pendências ou os pneus estão carecas.”

Em lógica: $\neg A \to (P \lor C)$.

Usando a equivalência $X \to Y \equiv \neg X \lor Y$: $\neg A \to (P \lor C) \equiv \neg(\neg A) \lor (P \lor C) \equiv A \lor P \lor C$.

A 2ª proposição é:

“Se a vistoria não é aprovada e os pneus não estão carecas, então o carro tem pendências.”

Em lógica: $(\neg A \land \neg C) \to P$.

Aplicando $X \to Y \equiv \neg X \lor Y$: $(\neg A \land \neg C) \to P \equiv \neg(\neg A \land \neg C) \lor P$.

Pela Lei de De Morgan, $\neg(\neg A \land \neg C) \equiv A \lor C$. Então: $(\neg A \land \neg C) \to P \equiv (A \lor C) \lor P \equiv A \lor P \lor C$.

Como ambas se reduzem à mesma fórmula ($A \lor P \lor C$), elas são logicamente equivalentes.