Um capital inicial C0 foi aplicado durante n anos em regime de juro composto, com capitalização semestral, à taxa anual efetiva ia. Sobre esta aplicação apenas se sabe que o capital acumulado ao fim de 6 anos era de 5.500 euros e que se o capital C0 tivesse sido aplicado em regime de juro simples, o juro produzido no 7.º semestre (e apenas no 7.º semestre) teria sido 80% do juro efetivamente produzido nesse semestre em regime de juro composto. Qual é o valor do capital inicial C0 e da taxa anual efetiva ia?
Questão
Um capital inicial C0 foi aplicado durante n anos em regime de juro composto, com capitalização semestral, à taxa anual efetiva ia. Sobre esta aplicação apenas se sabe que o capital acumulado ao fim de 6 anos era de 5.500 euros e que se o capital C0 tivesse sido aplicado em regime de juro simples, o juro produzido no 7.º semestre (e apenas no 7.º semestre) teria sido 80% do juro efetivamente produzido nesse semestre em regime de juro composto. Qual é o valor do capital inicial C0 e da taxa anual efetiva ia?
Alternativas
C0 = 3.520 euros e ia = 7,72%
C0 = 3.000 euros e ia = 8,00%
C0 = 3.000 euros e ia = 3,79%
C0 = 5.000 euros e ia = 8,00%
Nenhuma das alíneas anteriores.
Explicação
Seja a taxa efetiva semestral. Como a taxa anual efetiva é , então
Ao fim de 6 anos (12 semestres), em juro composto: C_0(1+i_s)^{12}=5500.\tag{1}
No 7º semestre:
- Em juro simples, o juro do semestre é constante:
- Em juro composto, o juro no 7º semestre é calculado sobre o capital no início desse semestre (após 6 semestres):
Dado que o juro simples no 7º semestre é 80% do juro composto nesse semestre:
\Rightarrow\; 1=0{,}8(1+i_s)^6$$ $$\Rightarrow\; (1+i_s)^6=\frac{1}{0{,}8}=1{,}25.$$ Logo, $$(1+i_s)^{12}=(1{,}25)^2=1{,}5625.$$ Substituindo em (1): $$C_0\cdot 1{,}5625=5500\Rightarrow C_0=\frac{5500}{1{,}5625}=3520\text{ euros}.$$ Além disso, $$1+i_a=(1+i_s)^2=((1+i_s)^6)^{1/3}=1{,}25^{1/3}.$$ Assim, $$i_a=1{,}25^{1/3}-1\approx 0{,}0772=7{,}72\%.$$ Portanto, $C_0=3520$ euros e $i_a\approx 7{,}72\%$.