Geometria Plana: Um helicóptero avista duas torres de vigilância, B e C, distantes 10 km uma da outra, e nesse momento há um foco de incêndio na floresta, conforme os ângulos assinalados na figura. Apresente os cálculos das distâncias das duas torres até o foco do incêndio e informe qual das duas torres corre mais perigo.

Pelo desenho, o lado conhecido é $AB=10\,\text{km}$ (e não $BC$). Os ângulos são $\angle A=30^\circ$, $\angle B=45^\circ$, $\angle C=60^\circ$.

Queremos as distâncias do foco do incêndio (ponto $A$) às torres $B$ e $C$, isto é, $AB$ e $AC$.

1) Lei dos senos

Em um triângulo $ABC$: [ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}. ]

Como $AB=10$ km, $\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$ e $\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}$:

Distância da torre B ao incêndio

Essa já é dada no desenho: [ AB=10,\text{km}. ]

Distância da torre C ao incêndio ($AC$)

[ \frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B} \Rightarrow AC=AB\cdot\frac{\sin B}{\sin C} ] [ AC=10\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} =10\cdot\frac{\frac{\sqrt2}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}} =10\cdot\frac{\sqrt2}{\sqrt3} \approx 10\cdot 0{,}8165 \approx 8{,}16,\text{km}. ]

2) Qual torre corre mais perigo?

A torre mais próxima do foco (menor distância até $A$) é a torre C, pois:

• $AB=10$ km
• $AC\approx 8{,}16$ km Logo, a torre C corre mais perigo.

Alternativa correta: (sem alternativas).