Qual é a probabilidade de menos que 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta?

Seja $X$ o número de caras em 5 lançamentos de uma moeda honesta. Então $X\sim\text{Binomial}(n=5,p=0{,}5)$.

Queremos:

$$P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2).$$

Usando $P(X=k)=\binom{5}{k}(0{,}5)^k(0{,}5)^{5-k}=\binom{5}{k}(0{,}5)^5=\binom{5}{k}\cdot\frac{1}{32}$:

• $P(X=0)=\binom{5}{0}\frac{1}{32}=\frac{1}{32}$
• $P(X=1)=\binom{5}{1}\frac{1}{32}=\frac{5}{32}$
• $P(X=2)=\binom{5}{2}\frac{1}{32}=\frac{10}{32}$

Somando:

$$P(X<3)=\frac{1+5+10}{32}=\frac{16}{32}=\frac{1}{2}=0{,}500.$$