O fundo de um recipiente cilíndrico, bem como o espaço anular formado entre este recipiente e um cilindro móvel, com comprimento igual a 0,20 m, estão preenchidos com glicerina (µ = 4,1 × 10^-1 N·s/m^2), como mostrado na figura abaixo. A distância entre o fundo do recipiente cilíndrico e o cilindro móvel é igual 4 mm e os diâmetros do cilindro móvel e do recipiente são iguais a 152,4 e 157,5 mm, respectivamente. Determine o torque necessário para manter o cilindro interno girando a 180 rpm, sendo que o recipiente cilíndrico é imóvel e que a distribuição de velocidade no escoamento de glicerina, tanto no espaço anular como no fundo do recipiente é linear.

Dados (da figura/enunciado):

• Viscosidade dinâmica: $\mu = 4{,}1\times 10^{-1}\ \text{N·s/m}^2 = 0{,}41\ \text{Pa·s}$.
• Comprimento do trecho anular (altura molhada lateral): $L = 0{,}20\ \text{m}$.
• Folga no fundo: $h_b = 4\ \text{mm} = 0{,}004\ \text{m}$.
• Diâmetros: cilindro interno $D_i=152{,}4\ \text{mm}=0{,}1524\ \text{m}$, recipiente $D_o=157{,}5\ \text{mm}=0{,}1575\ \text{m}$.
• Rotação: $180\ \text{rpm} \Rightarrow \omega = 180\cdot\frac{2\pi}{60}=6\pi\ \text{rad/s}$.
• Perfil de velocidade linear (Couette), tanto no anular quanto no fundo.

Geometria:

• Raios: $R_i=\frac{D_i}{2}=0{,}0762\ \text{m}$, $R_o=\frac{D_o}{2}=0{,}07875\ \text{m}$.
• Folga radial no anular: $h_a = R_o-R_i = 0{,}00255\ \text{m}$.

Velocidade na superfície do cilindro interno:

$$U = \omega R_i = (6\pi)(0{,}0762) \approx 1{,}4366\ \text{m/s}.$$

1. Torque devido ao cisalhamento no espaço anular (parede lateral)

Para perfil linear: $\tau = \mu \frac{\Delta u}{\Delta y}=\mu\frac{U}{h_a}$. A força viscosa na área lateral do cilindro interno $A_L = 2\pi R_i L$:

$$F_a = \tau A_L = \mu\frac{U}{h_a}(2\pi R_i L).$$

O torque é $T_a = F_a R_i$:

$$T_a = \mu\frac{U}{h_a}(2\pi R_i L)R_i = \mu\frac{\omega R_i}{h_a}(2\pi R_i L)R_i =\frac{2\pi\mu\omega L R_i^3}{h_a}.$$

Substituindo:

• $R_i^3=(0{,}0762)^3\approx 4{,}423\times 10^{-4}\ \text{m}^3$

$$T_a \approx \frac{2\pi(0{,}41)(6\pi)(0{,}20)(4{,}423\times10^{-4})}{0{,}00255} \approx 1{,}76\ \text{N·m}.$$

2. Torque devido ao cisalhamento no fundo (filme sob a base do cilindro)

No fundo, o fluido está entre um “disco” de raio $R_i$ girando e o fundo fixo, separados por $h_b$. Em um raio genérico $r$, a velocidade é $u=\omega r$ e

$$\tau(r)=\mu\frac{\omega r}{h_b}.$$

Num anel diferencial de área $dA=2\pi r\,dr$, a força tangencial $dF=\tau dA$ e o torque diferencial $dT=r\,dF$:

$$dT = r\,\tau(r)\,dA = r\left(\mu\frac{\omega r}{h_b}\right)(2\pi r\,dr) =\frac{2\pi\mu\omega}{h_b}r^3dr.$$

Integrando de $0$ a $R_i$:

$$T_b = \frac{2\pi\mu\omega}{h_b}\int_0^{R_i} r^3dr =\frac{2\pi\mu\omega}{h_b}\left(\frac{R_i^4}{4}\right) =\frac{\pi\mu\omega R_i^4}{2h_b}.$$

Com $R_i^4=(0{,}0762)^4\approx 3{,}371\times 10^{-5}\ \text{m}^4$:

$$T_b \approx \frac{\pi(0{,}41)(6\pi)(3{,}371\times10^{-5})}{2(0{,}004)} \approx 2{,}00\ \text{N·m}.$$

Torque total requerido:

$$T = T_a + T_b \approx 1{,}76 + 2{,}00 = 3{,}76\ \text{N·m}.$$

Alternativa correta: (sem alternativas).